Koeficient špičatosti

Koeficient špičatosti (excesu) je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která porovnává dané rozdělení s normálním rozdělením pravděpodobnosti.

Koeficient špičatosti se obvykle označuje $\gamma_2$.

Definice

Koeficient špičatosti je definován vztahem

$\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^4}{\left(\operatorname{var}\,X\right)^2} - 3$,

kde $\mu_4$ je čtvrtý centrální moment, $\sigma$ je směrodatná odchylka, $\operatorname{E}(X)$ označuje střední hodnotu a $\operatorname{var}\,X$ je rozptyl.

Vlastnosti

Normální rozdělení má špičatost nula. Kladná špičatost značí, že většina hodnot náhodné veličiny leží blízko její střední hodnoty a hlavní vliv na rozptyl mají málo pravděpodobné odlehlé hodnoty. Křivka hustoty je špičatější, nežli u normálního rozdělení. Záporná špičatost značí, že rozdělení je rovnoměrnější a jeho křivka hustoty je plošší nežli u normálního rozdělení.

Špičatost rozdělení nezávisí na lineární transformaci náhodné veličiny, je tedy např. stejná pro všechna normální rozdělení.

Výběrový koeficient špičatosti

Výběrový koeficient špičatosti je definován vzorcem

$g_2 = \frac{m_4}{m_2^2} = n\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^2}$,

kde $\overline{x}$ je výběrový průměr, $m_2$ je výběrový rozptyl a $m_4$ je čtvrtý výběrový centrální moment.

Tento odhad je vychýlený. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:

$\begin{align} G_2 = \frac{M_4}{M_2^2} &= \frac{(n-1)}{(n-2)(n-3)}\left((n+1)g_2+6\right) \\ b_2 = \frac{m_4}{M_2^2} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^2g_2 - 3 \end{align}$

Pro rozptyly těchto odhadů platí $\operatorname{var}\,b_2 < \operatorname{var}\,g_2 < \operatorname{var}\,G_2$.