Rozdělení pravděpodobnosti

Rozdělení pravděpodobnosti nebo rozložení pravděpodobnosti (někdy také distribuce pravděpodobnosti) náhodné veličiny je pravidlo, kterým každému jevu popisovanému touto veličinou přiřazujeme určitou pravděpodobnost. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny tedy získáme, pokud každé hodnotě diskrétní náhodné veličiny, popř. intervalu hodnot spojité náhodné veličiny, přiřadíme pravděpodobnost.

Rozdělení pravděpodobnosti lze také chápat jako zobrazení, které každému elementárnímu jevu přiřazuje určité reálné číslo, které charakterizuje pravděpodobnost tohoto jevu.

Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny

Pravděpodobnost, že diskrétní náhodná veličina $X$ bude mít po provedení náhodného pokusu hodnotu $x$ značíme $P(X=x)$, $P[X=x]$ nebo stručně $P(x)$.

Výsledkem jednoho náhodného pokusu je to, že náhodná veličina bude mít právě jednu hodnotu. Všechny hodnoty definičního oboru náhodné veličiny tedy představují úplný systém neslučitelných jevů, což znamená, že součet pravděpodobností všech možných hodnot $x$ diskrétní náhodné proměnné $X$ je roven 1, tzn.

$\sum_x P[X=x]=1$

Pravděpodobnostní funkce

Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny tedy vyjádříme tak, že určíme pravděpodobnost $P(x)$ pro všechna $x$ definičního oboru veličiny $X$. Pravděpodobnosti jednotlivých hodnot $x$ jsou tedy vyjádřeny funkcí $P(x)$, kterou označujeme jako pravděpodobnostní funkci.

Demonstrace diskrétního rozdělení pravděpodobnosti.

Hodnoty pravděpodobností funkce vyjadřujeme obvykle tabulkou, např.

x	P(x)
$x_1$	$P(x_1)$
$x_2$	$P(x_2)$
…	…
$x_n$	$P(x_n)$

Nebo se také používá vyjádření ve formě grafu (viz obrázek). V některých případech lze také použít vyjádření pomocí matematického vzorce.

Znalost pravděpodobnostní funkce lze použít k výpočtu pravděpodobnosti. Např. pravděpodobnost, že náhodná veličina $X$ leží mezi hodnotami $x_1$ a $x_2$ určíme jako

$P[x_1\leq X\leq x_2] = \sum_{x=x_1}^{x_2} P(x)$

Distribuční funkce diskrétní veličiny

Pomocí pravděpodobnostní funkce můžeme zavést tzv. distribuční funkci vztahem

$F(x) = P[X \le x]$

Distribuční funkce je neklesající a je spojitá zprava. Hodnoty distribuční funkce leží v rozsahu $0\leq F(x)\leq 1$. Pro diskrétní náhodnou veličinu $X$ lze pro libovolné reálné číslo $x$ vyjádřit distribuční funkci vztahem

$F(x) = \sum_{t \le x} P(t)$

Vlastnosti

Jestliže hodnoty náhodné veličiny leží v intervalu $( a, b \rangle$, pak $F(a)=0$ a $F(b)=1$.

Distribuční funkci lze, podobně jako pravděpodobnostní funkci, použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť

$P[x_1 < X\leq x_2] = F(x_2)-F(x_1)$

Důležitá diskrétní rozdělení

• Alternativní rozdělení (X nabývá pouze dvou hodnot 0 nebo 1)
• Rovnoměrné rozdělení (například hod kostkou)
• Binomické rozdělení (n pokusů se stejnou pravděpodobností)
• Poissonovo rozdělení
• Negativně binomické rozdělení
• Pascalovo rozdělení (zvláštní případ negativně binomického rozdělení)
• Geometrické rozdělení (zvláštní případ pascalova rozdělení)
• Hypergeometrické rozdělení
• Logaritmické rozdělení

Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Rozdělení spojité náhodné veličiny nelze popsat určením pravděpodobnosti v určitém bodě.

Hustota pravděpodobnosti

Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se určuje prostřednictvím funkce, kterou označujeme jako hustota rozdělení pravděpodobnosti (hustota pravděpodobnosti).

Je-li $\rho(x)$ hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny $X$, pak platí

$\int_\Omega \rho(x)\mathrm{d}x = 1 \,$,

kde $\Omega$ je definiční obor veličiny $X$. Pro hodnoty $x$ mimo definiční obor $\Omega$ je hustota pravděpodobnosti nulová, tzn. $\rho(x)=0$ pro $x\notin \Omega$.

Ze znalosti hustoty pravděpodobnosti $\rho(x)$ lze určit pravděpodobnost, že náhodná veličina $X$ bude mít hodnotu z intervalu $\langle x_1,x_2\rangle$, tedy

$P[x_1\leq X\leq x_2] = \int_{x_1}^{x_2} \rho(x)\mathrm{d}x$

Pravděpodobnost určité (přesně dané) hodnoty náhodné veličiny je nulová, což plyne z předchozího vztahu. Důsledkem toho je, že pro spojitou náhodnou veličinu platí vztahy

$P[x_1\leq X\leq x_2] = P[x_1<X\leq x_2] = P[x_1\leq X<x_2] = P[x_1<X<x_2]$

Distribuční funkce spojité veličiny

Distribuční funkce $F(x)$ jednorozměrné reálné náhodné veličiny $X$ se definuje jako pravděpodobnost, že realizace této náhodné veličiny nepřekročí $x$:

$F(x) = P[X \le x]$

Distribuční funkce je neklesající, zprava spojitá, její limita v minus nekonečnu je nula, v plus nekonečnu jedna.

Komplementární distribuční funkce se pak definuje jako $1 - F(x)$.

Pro spojitou náhodnou veličinu s hustotou pravděpodobnosti $\rho(x)$ lze distribuční funkci spočítat také podle vztahu

$F(x) = \int\limits_{-\infty}^x \rho(t)\mathrm{d}t$

Vlastnosti

Platí, že $F(-\infty)=0$ a $F(\infty)=1$.

Distribuční funkci lze použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť

$P[x_1\leq X \leq x_2] = F(x_2)-F(x_1)$

Lze dokázat, že mezi hustotou pravděpodobnosti $\rho(x)$ a distribuční funkcí $F(x)$ platí vztah

$\rho(x)=\frac{\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d}x}$

Důležitá spojitá rozdělení

• Rovnoměrné rozdělení
• Normální rozdělení (označované také jako Gaussovo rozdělení)
• Logaritmicko-normální rozdělení (také log-normální rozdělení)
• Exponenciální rozdělení
• Cauchyho rozdělení
• Gama rozdělení
• Laplaceovo rozdělení (nebo také dvojitě exponenciální rozdělení)
• Logistické rozdělení
• Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení
• Studentovo rozdělení
• Fischerovo-Snedecorovo rozdělení
• χ² rozdělení (Chí kvadrát)

Vícerozměrné rozdělení pravděpodobnosti

Sdružená a marginální pravděpodobnost

Mějme $n$-rozměrný náhodný vektor $\mathbf{X}$, jehož složkami jsou diskrétní náhodné veličiny $X_i$. Jejich rozdělení lze popsat tzv. sdruženou (simultánní) pravděpodobností

$P(\mathrm{x}) = P(x_1,x_2,...,x_n) = P[X_1=x_1\cap X_2=x_2\cap\cdots\cap X_n=x_n]$

Tento vztah udává pravděpodobnost, že náhodná veličina $X_1$ nabude hodnotu $x_1$, náhodná veličina $X_2$ nabude hodnoty $x_2$, atd. pro všechna $X_i$ a $x_i$.

Pro $n=2$ zobrazujeme sdružené pravděpodobnosti v tzv. korelační tabulce

x	$y_1$	$y_2$	…	$y_s$	Součet
$x_1$	$P(x_1,y_1)$	$P(x_1,y_2)$	…	$P(x_1,y_s)$	$P_1(x_1)$
$x_2$	$P(x_2,y_1)$	$P(x_2,y_2)$	…	$P(x_2,y_s)$	$P_1(x_2)$
…	…	…	…	…	…
$x_r$	$P(x_r,y_1)$	$P(x_r,y_2)$	…	$P(x_r,y_s)$	$P_1(x_r)$
Součet	$P_2(y_1)$	$P_2(y_2)$	…	$P_2(y_s)$	1

Pravděpodobnosti $P_1(x_i)$ a $P_2(y_j)$ jsou tzv. marginální (okrajové) pravděpodobnosti. Platí tedy

$P_1(x) = \sum_y P(x,y)$

$P_2(y) = \sum_x P(x,y)$

Dále platí

$\sum_x \sum_y P(x,y) = \sum_x P_1(x) = \sum_y P_2(y) = 1$

Sdružená a marginální distribuční funkce

Sdruženou (simultánní) distribuční funkci lze pro $n$-rozměrný náhodný vektor $\mathbf{X}$ diskrétních veličin $X_i$ definovat jako

$F(x) = F(x_1,x_2,..,x_n) = F(X_1<x_1\cap X_2<x_2\cap\cdots\cap X_n<x_n)$

Sdružená distribuční funkce (pro dvě proměnné X, Y) splňuje podmínky

$F(-\infty,y) = F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0$

$F(\infty,\infty)=1$

Podobné podmínky platí také pro vícerozměrné náhodné vektory.

Marginální (okrajové) distribuční funkce lze pro vektor dvou proměnných $X$ a $Y$ zapsat vztahy

$F_1(x)=F(x,\infty)$

$F_2(y)=F(\infty,y)$

Podobně lze marginální distribuční funkce určit také v případě vícerozměrných náhodných vektorů.

Sdružená a marginální hustota pravděpodobnosti

Rozdělení dvou spojitých náhodných veličin je možné popsat sdruženou hustotou pravděpodobnosti $f(x,y)$. Sdružená hustota pravděpodobnosti musí splňovat podmínku

$\int_\Omega \left[\int_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y = 1$

Marginální hustoty pravděpodobnosti určíme jako

$f_1(x) = \int_\Omega f(x,y)\mathrm{d}y$

$f_2(y) = \int_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x$

Sdruženou distribuční funkci pak dostaneme jako

$F(x,y) = \int_{-\infty}^x\left[\int_{-\infty}^yf(t,u)\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}u$

Ze sdružené distribuční funkce lze naopak získat sdruženou hustotu pravděpodobnosti

$f(x,y) = \frac{\part^2 F(x,y)}{\part x\part y}$

Podobně lze postupovat také v případě $n$-rozměrných vektorů spojitých náhodných veličin. Sdruženou hustotu pravděpodobnosti pak můžeme získat jako

$f(\mathbf{x})=f(x_1,x_2,...,x_n) = \frac{\part^n F(x_1,x_2,...,x_n)}{\part x_1\part x_2\cdots\part x_n}$

Marginální pravděpodobnost lze definovat pro libovolnou skupinu $m$ veličin ($m<n$) daného $n$-rozměrného náhodného vektoru. Rozdělení je závislé pouze na daných $m$ veličinách a na zbývajících $n-m$ veličinách nezávisí. Pro $m>2$ je nutno rozlišovat podvojnou nezávislost a nezávislost vzájemnou.

Jsou-li veličiny $X_i$ vzájemně nezávislé, pak platí

$F(\mathbf{x}) = F_1(x_1)F_2(x_2)\cdots F_n(x_n)$

$P(\mathbf{x}) = P_1(x_1)P_2(x_2)\cdots P_n(x_n)$

$f(\mathbf{x}) = f_1(x_1)f_2(x_2)\cdots f_n(x_n)$

Podmíněné rozdělení pravděpodobnosti

Podmíněným rozdělením náhodné veličiny $X$ vzhledem k veličině $y$ rozumíme rozdělení veličiny $X$ za podmínky, že náhodná veličina $Y$ nabyla hodnoty $y$.

Podmíněné rozdělení je definováno jako podíl rozdělení sdruženého a marginálního.

Pro dvě diskrétní náhodné veličiny $X, Y$ můžeme zapsat podmíněnou pravděpodobnost veličiny $X$ vzhledem k $Y$ jako

$P(x|y)= \frac{P(x,y)}{P_2(y)}$

pro $P_2(y)\neq 0$, kde $P_2(y)$ je marginální pravděpodobnost a $P(x,y)$ je pravděpodobnost sdružená.

Obdobně dostaneme pro podmíněnou pravděpodobnost veličiny $Y$ vzhledem k $X$ vztah

$P(y|x) = \frac{P(x,y)}{P_1(x)}$

pro $P_1(x)\neq 0$, kde $P_1(x)$ je marginální pravděpodobnost a $P(x,y)$ je opět sdružená pravděpodobnost.

Podmíněná distribuční funkce

Podmíněné distribuční funkce zapsat zapsat jako

$F(x|y) = \sum_{t<x} \frac{P(t,y)}{P_2(y)}$

$F(y|x) = \sum_{t<y} \frac{P(x,t)}{P_1(x)}$

Podmíněná hustota pravděpodobnosti

Máme-li dvourozměrný náhodný vektor, jehož složkami jsou spojité náhodné veličiny $X$ a $Y$, pak můžeme vyjádřit podmíněné hustoty pravděpodobnosti

$f(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_2(y)}$

pro $f_2(y)\neq 0$ a

$f(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_1(x)}$

pro $f_1(x)\neq 0$, kde $f(x,y)$ je sdružená hustota pravděpodobnosti a $f_1(x)$ a $f_2(y)$ jsou marginální hustoty pravděpodobnosti.

Pro podmíněné distribuční funkce spojitých náhodných veličin $X, Y$ pak platí

$F(x|y) = \frac{\int_{-\infty}^x f(t,y)\mathrm{d}t}{f_2(y)}$

$F(y|x) = \frac{\int_{-\infty}^y f(x,t)\mathrm{d}t}{f_1(x)}$

Charakteristiky rozdělení náhodné veličiny

Související informace naleznete v článku Charakteristika náhodné veličiny.

Charakteristiky náhodné veličiny jsou vhodně vybrané číselné údaje, které shrnují základní informace o rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Charakteristiky nám o náhodné veličině poskytují pouze základní a hrubou představu, neboť charakteristiky (obvykle) nepostačují k jednoznačnému popisu rozdělení pravděpodobnosti. Naproti tomu rozdělení pravděpodobnosti sice poskytuje jednoznačný popis náhodné veličiny, obvykle však není dostatečně přehledné.

Důležitými charakteristikami rozdělení jsou střední hodnota a rozptyl.

Související články

• Náhodná veličina
• Amplituda pravděpodobnosti