Binomická věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Binomická věta je důležitá matematická věta, díky které můžeme n-tou mocninu dvou sčítanců rozložit na součet n+1 sčítanců. Věta vychází z kombinatoriky, dnes se používá například k dokazování ve fyzice. Nejjednoduší verze vypadá takto:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k} \quad$

Pokud je n přirozené číslo, tak následující kombinační čísla:

${n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

jsou takzvané binomické koeficienty Pascalova trojúhelníku. Číslo n! je faktoriál čísla n.

[editovat] Zobecnění binomické věty

Binomickou větu lze zobecnit i na případ, kdy není závorka umocňována na přirozené číslo. I v tomto případě můžeme psát:

$(1+z)^w = {w \choose 0}+ {w \choose 1}z+ {w \choose 2}z^2+{w \choose 3}z^3+\cdots$

Kde $w, z$ jsou obecně komplexní čísla. Případně s rozepsáním definice kombinatorického čísla:

$(1+z)^w = 1+ w z+ \frac{w(w-1)}{2} z^2+ \frac{w(w-1)(w-2)}{6} z^3+\cdots$

Tyto mocninné řady konvergují obecně jen pokud je $| z | < 1$ .

Speciálně pro $z = - x$ a $w = - 1$ dosáváme součet geometrické řady:

$\frac{1}{1-x}= 1+ x+x^2+x^3+x^4 \cdots$

Případně pokud je $z = - x 2$ a $w=-\frac{1}{2}$ , pak obdržíme tuto řadu:

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1\cdot 3}{2 \cdot 4} x^4 +\frac{1\cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} x^6+ \cdots$

Která po integraci přejde na řadu pro $arcsin x$ :

$\arcsin x = x + \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} + \frac{1\cdot 3}{2 \cdot 4} \frac{x^5}{5} +\frac{1\cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \frac{x^7}{7}+ \cdots$

Speciálně např. když dosadíme $x=\frac{1}{2}$ , dostaneme docela dobře konvergující řadu pro $\frac{\pi}{6}$ . Pomocí této řady bylo v historii v ruce vypočteno Ludolfovo číslo asi na sto míst.

Obdobně, pokud bychom položili $z = x 2$ a $w = - 1$ , dostali bychom integrací této řady řadu pro $\operatorname{arctg}\; x$ , která taktéž umožňuje vypočítat číslo $π$ .