Binomická věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Ilustrace binomické věty pro n=2

Binomická věta je důležitá matematická věta, díky které můžeme n-tou mocninu dvou sčítanců rozložit na součet n+1 sčítanců. Věta vychází z kombinatoriky, dnes se používá například k dokazování ve fyzice. Nejjednodušší verze vypadá takto:

 (x+y)^n = \sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k} \quad

Pokud je n přirozené číslo, tak následující kombinační čísla:

{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

jsou takzvané binomické koeficienty Pascalova trojúhelníku. Číslo n! je faktoriál čísla n.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Ilustrace binomické věty pro n=3

Příklady binomické věty pro n = 2, n = 3 a n = 4:

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,
(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\,
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,
(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\,
(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,

Na některých středních(základních) školách se zpaměti učí tyto příklady binomické věty jako předem dané "vzorečky" pro výpočet mnohočlenů.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Použijeme matematickou indukci. Když n = 0, rovnost platí:

 (a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^0 { 0 \choose k } a^{0-k}b^k.

Pro indukční krok budeme předpokládat, že věta platí pro exponent m. Pak pro n=m+1:

 (a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \,
z indukčního předpokladu:
 = a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j
násobení přes a a b:
 = \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}
vyjmutí k=0 ze sumy:
 = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}
substituce  j = k-1:
 = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k}
vyjmutí k=m+1 ze sumy:
 = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k} + b^{m+1}
složení dvou sum:
 = a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m-k+1}b^k
z Pascalova pravidla:
 = a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m-k+1}b^k
přidání  m+1 mocnin do výrazu:
 = \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m-k+1}b^k .
Q.E.D.

Zobecnění binomické věty[editovat | editovat zdroj]

Binomickou větu lze zobecnit i na případ, kdy není závorka umocňována na přirozené číslo. I v tomto případě můžeme psát:

(1+z)^w = {w \choose 0}+ {w \choose 1}z+ {w \choose 2}z^2+{w \choose 3}z^3+\cdots

Kde w,\,z jsou obecně komplexní čísla. Případně s rozepsáním definice kombinačního čísla:

(1+z)^w = 1+ w z+ \frac{w(w-1)}{2} z^2+ \frac{w(w-1)(w-2)}{6} z^3+\cdots

Tyto mocninné řady konvergují obecně jen pokud je |z|<1.

Speciálně pro z=-x a w=-1 dostáváme součet geometrické řady:

\frac{1}{1-x}= 1+ x+x^2+x^3+x^4 \cdots

Případně pokud je z=-x^2 a w=-\frac{1}{2}, pak obdržíme tuto řadu:

\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1\cdot 3}{2 \cdot 4} x^4 +\frac{1\cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} x^6+ \cdots

Která po integraci přejde na řadu pro \arcsin x:

\arcsin x = x + \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} + \frac{1\cdot 3}{2 \cdot 4} \frac{x^5}{5} +\frac{1\cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \frac{x^7}{7}+ \cdots

Speciálně např. když dosadíme x=\frac{1}{2}, dostaneme docela dobře konvergující řadu pro \frac{\pi}{6}. Pomocí této řady bylo v historii v ruce vypočteno Ludolfovo číslo asi na sto míst.

Obdobně, pokud bychom položili z=x^2 a w=-1, dostali bychom integrací této řady řadu pro \operatorname{arctg}\; x, která taktéž umožňuje vypočítat číslo \pi.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Logo Wikimedia Commons
Wikimedia Commons nabízí obrázky, zvuky či videa k tématu