Poissonovo rozdělení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Hustota pravděpodobnosti
Distribuční funkce

Poissonovo rozdělení pravděpodobnostináhodná veličina, která vyjadřuje počet výskytů málo pravděpodobných, řídkých jevů v určitém časovém, resp. objemovém intervalu.

Poissonovo rozdělení bývá označováno jako rozdělení řídkých jevů, neboť se podle něj řídí četnosti jevů, které mají velmi malou pravděpodobnost výskytu. Poissonovo rozdělení se používá k aproximaci binomického rozdělení pro velký počet pokusů, tzn. n\to\infty a malou pravděpodobnost výskytu sledovaného jevu v jednom pokusu, tzn. p\to0. Obvykle můžeme binomické rozdělení aproximovat Poissonovým tehdy, pokud n>30 a p\leq \frac{1}{10}. V takovém případě je \lambda = np.

Rozdělení pravděpodobnosti[editovat | editovat zdroj]

Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti lze pro všechny hodnoty x = 0,1,2,... náhodné veličiny X vyjádřit pomocí parametru \lambda>0 jako

P(X=x) = \frac{\lambda^x}{x!}\mathrm{e}^{-\lambda}

Charakteristiky rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Poissonovo rozdělení lze také popsat některými charakteristikami.

Střední hodnota Poissonova rozdělení je

\operatorname{E}(X)=\lambda

Rozptyl má hodnotu

\operatorname{D}(X) = \sigma^2(X) = \lambda

Pro koeficient šikmosti dostaneme

\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}

Hodnota koeficientu špičatosti je

\gamma_2 = \frac{1}{\lambda}

Momentová vytvořující funkce Poissonova rozdělení má tvar

m(z) = \mathrm{e}^{\lambda(\mathrm{e}^z - 1)}

Vícerozměrné Poissonovo rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Vícerozměrné Poissonovo rozdělení je rozdělení náhodného vektoru X, jehož složky X_i pro i=1,2,...,n mají Poissonovo rozdělení s parametry \lambda_i. Sdruženou pravděpodobnost vícerozměrného Poissonova rozdělení lze vyjádřit jako

P(x_1,x_2,...,x_n) = \left\{\begin{matrix} \mathrm{e}^{-\sum_{i=1}^n \lambda_i} \frac{\lambda_1^{x_1} \lambda_2^{x_2}\cdots \lambda_n^{x_n}}{x_1! x_2! \cdots x_n!} & \mbox{ pro } x_i =0,1,2,..., \; \lambda_i>0 \\ 0 & \mbox{ jinak }\end{matrix}\right.

pro i=1,2,...,n.

Momentovou vytvořující funkci lze zapsat ve tvaru

m(z_1,z_2,...,z_n) = \mathrm{e}^{\sum_{i=1}^n \lambda_i \left(\mathrm{e}^{z_i}-1\right)}

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Velký význam má Poissonovo rozdělení v teorii hromadné obsluhy, kde popisuje takové náhodné jevy jako jsou příchody zákazníků.
  • Počet pulsů registrovaných GM-trubicí za zvolený časový interval.
  • Počet aut, která projedou určitým místem za daný čas.
  • Počet branek za fotbalový zápas.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]