Kvadratický průměr

Kvadratický průměr (také střední kvadratická hodnota nebo střední kvadratický průměr) je statistická veličina představující druhou odmocninu aritmetického průměru druhých mocnin daných hodnot.

Výpočet

Matematický zápis výpočtu je následující ($n$ představuje počet hodnot, $x_{i}$ jsou jednotlivé hodnoty):

$K={\sqrt {\bar {x^{2}}}}={\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} \over n}}$

V případě spojité funkce $f(t)$ lze vypočítat kvadratický průměr neboli střední kvadratickou hodnotu v určitém intervalu $\langle t_{1},t_{2}\rangle$ pomocí integrálu:

$K=f_{ef}={\sqrt {\bar {f^{2}}}}={\sqrt {{\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{f^{2}(t)\,\mathrm {d} t}}}$

Vlastnosti

Kvadratický průměr je vždy nezáporný a větší nebo roven aritmetickému průměru. Rovnost nastává, právě když jsou všechny průměrované hodnoty stejné a nezáporné. To je důsledkem Cauchyovy-Schwarzovy-Buňakovského nerovnosti pro skalární součin.

Umocnění hodnot na druhou má za následek větší váhu hodnot vzdálenějších od nuly. Vzdáleně to připomíná výpočet váženého průměru.

Použití

Diskrétní verze kvadratického průměru se používá například při výpočtu střední kvadratické odchylky, ta je kvadratickým průměrem odchylek.

Spojitý kvadratický průměr – střední kvadratická hodnota se používá rovněž ve statistice nebo fyzice, např. při výpočtu střední kvadratické rychlosti molekul plynu nebo při výpočtu efektivní hodnoty střídavého napětí nebo střídavého proudu.

Související články

• Nerovnosti mezi průměry
• Aritmetický průměr
• Geometrický průměr
• Harmonický průměr
• Směrodatná odchylka
• Efektivní hodnota

Portály: Matematika