Přeskočit na obsah

Trojúhelníková nerovnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Trojúhelníková nerovnost je matematická věta: V každém trojúhelníku platí, že součet délek kterýchkoliv dvou stran je vždy větší než délka strany třetí.[1] Obecněji to znamená, že cesta z A do B a pak do C není kratší než cesta z A přímo do C. Tato nerovnost je používána v mnoha oblastech matematiky, např. reálných číslech, Euklidovském prostoru, Lp prostorech. Slouží jako axiom pro zavedení pojmu normovaný vektorový prostor a metrický prostor.

Reálná a komplexní čísla

[editovat | editovat zdroj]

V tělese reálných a komplexních čísel platí trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnoty libovolných čísel a ve tvaru

Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech

[editovat | editovat zdroj]

Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí

a zároveň

.

Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla a a sečteme-li je, dostáváme

a

.

Z definice absolutní hodnoty víme, že může nabývat jen hodnot nebo . Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.

Normovaný vektorový prostor

[editovat | editovat zdroj]

V normovaném vektorovém prostoru s normou má trojúhelníková nerovnost tvar

pro každé dva vektory a z .

Lp prostory

[editovat | editovat zdroj]

V Lp prostorech se trojúhelníkové nerovnosti říká Minkowského nerovnost. Díky ní se ukazuje, že Lp prostory jsou normované vektorové prostory.

Metrický prostor

[editovat | editovat zdroj]

V metrickém prostoru s metrikou má trojúhelníková nerovnost tvar:

to jest, že vzdálenost a není větší než součet vzdálenosti z do a vzdálenosti z do .

Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar

pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,

pro normované vektorové prostory a

pro metrické prostory.

Z těchto tvarů už plyne, že absolutní hodnota, norma i funkce jsou Lipschitzovské, tedy i spojité funkce.

  1. HAVRLANT, Lukáš. Trojúhelník. Matematika.cz [online]. matweb.cz [cit. 16.10.2021]. Dostupné online. 

Externí odkazy

[editovat | editovat zdroj]