Okruh (algebra): Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 2. 11. 2009, 12:50

Okruh je v matematice algebraická struktura se dvěma binárními operacemi sčítání a násobení. Přitom sčítání splňuje axiomy Abelových grup a násobení axiomy monoidů. Typickým příkladem okruhu je množina celých čísel se sčítáním a násobením.

Definice okruhu

Strukturu ${\mathcal {R}}$ s nosnou množinou $R$ a dvěma binárními operacemi + (sčítání) a $\cdot$ (násobení) na $R$ nazýváme okruh, platí-li pro každé $x,y,z\in R$ následující axiomy:

Komutativita sčítání: $x+y=y+x$
Asociativita sčítání i násobení: $(x+y)+z=x+(y+z)$ , $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$
Existence oboustranně neutrálních prvků pro sčítání i násobení: existují prvky $0,1\in R$ takové, že pro každé $x\in R$ platí $x+0=0+x=x$ , $x\cdot 1=1\cdot x=x$
Existence inverzních prvků pro sčítání: pro každé $x\in R$ existuje $y\in R$ tak, že $x+y=0=y+x$ , značíme $y=-x$
Oboustranná distributivita: $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ , $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$

Vlastnosti

Množina $R$ s operací +, tj. $(R,+)$ , je Abelova grupa. Množina $R$ s operací $\cdot$ , tj. $(R,\cdot )$ , je monoid.

Speciálním případem okruhu, kde neexistují tzv. dělitelé nuly, je obor integrity. Pokud navíc existují inverzní prvky vzhledem k operaci $\cdot$ , nazýváme takový okruh těleso.

Příklady okruhů

Okruh celých čísel $\mathbb {Z}$
Lineární zobrazení na $\mathbb {R} ^{n}$ s operací sčítání a skládání tvoří okruh. Obecná zobrazení však okruh netvoří, neboť není splňen předpoklad distributivity skládání.

Podokruh

Máme-li okruh (R,+,.) a S je neprázdná podmnožina R

je (S,+,.) podokruh, právě když pro všechna a, b patřící do S platí: $a+b\in {\mathcal {S}}$ a zároveň $a\cdot b\in {\mathcal {S}}$
pokud je S konečná, pak (S,+,.) je podokruh, právě když pro všechna a, b patřící do S platí $a+b\in {\mathcal {S}}$ a zároveň $a\cdot b\in {\mathcal {S}}$

Související články

Externí odkazy

@@ Řádek 1: / Řádek 1: @@
+'''Okruh''' je v [[matematika|matematice]] [[algebraická struktura]] se dvěma binárními operacemi sčítání a násobení. Přitom sčítání splňuje axiomy [[Abelova grupa|Abelových grup]] a násobení axiomy [[monoid]]ů. Typickým příkladem okruhu je množina [[celá čísla|celých čísel]] se sčítáním a násobením.
-'''Okruh''' (ozn. '''''R''''', angl. ''ring'') je [[algebraická struktura]], která má oproti [[Grupa|grupě]] navíc další [[Operace (matematika)|operaci]].
 == Definice okruhu ==
@@ Řádek 13: / Řádek 13: @@
 == Vlastnosti ==
-Okruh s operací +, <math>(\mathcal{M}, +)</math>, je [[Abelova grupa]].
+Množina <math>R</math> s operací +, tj. <math>(R, +)</math>, je [[Abelova grupa]].
-Okruh s operací <math>\cdot</math>, <math>(\mathcal{M}, \cdot)</math>,  je [[monoid]] ([[pologrupa]]).
+Množina <math>R</math> s operací <math>\cdot</math>, tj. <math>(R, \cdot)</math>,  je [[monoid]].
+Speciálním případem okruhu, kde neexistují tzv. dělitelé nuly, je [[obor integrity]].
-Speciálním případem okruhu, který navíc přináší existenci [[Inverzní prvek|inverzního prvku]] vůči operaci <math>\cdot</math> a [[Neutrální prvek|neutrálního prvku]] vůči operaci <math>\cdot</math>, je [[Těleso (algebra)|těleso]]. Speciálním případem okruhu, který navíc přináší neexistenci netriviálního dělitele nuly je [[obor integrity]].
+Pokud navíc existují [[Inverzní prvek|inverzní prvky]] vzhledem k operaci <math>\cdot</math>, nazýváme takový okruh [[Těleso (algebra)|těleso]].
 == Příklady okruhů ==
-* Množina [[Celé číslo|celých čísel]] <math>\mathbb{Z}</math>
+* Okruh [[Celé číslo|celých čísel]] <math>\mathbb{Z}</math>
 * [[Lineární zobrazení]] na <math>\mathbb{R}^n</math> s operací [[sčítání]] a [[Skládání zobrazení|skládání]] tvoří okruh. Obecná [[Zobrazení (matematika)|zobrazení]] však okruh netvoří, neboť není splňen předpoklad distributivity skládání.