Diskriminant: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 7. 4. 2021, 16:53

Diskriminant je polynom s reálnými nebo imaginárními koeficienty, který se používá při řešení polynomických rovnic, především kvadratických, také při studiu vlastností kvadratických funkcí nebo při určování tečen ke kuželosečkám.^[1]

Diskriminant kvadratických rovnic

Pro kvadratickou rovnici $ax^{2}+bx+c=0$ (kde $a\neq 0$ ) je diskriminant $D=b^{2}-4ac$ .

Znaménko diskriminantu určuje charakter kořenů:^[2]

Pokud $D>0$ , pak má daná rovnice právě dva různé reálné kořeny $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ .
Pokud $D=0$ , pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobný reálný kořen $x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}$ .
Pokud $D<0$ , pak má daná rovnice právě dva různé komplexně sdružené kořeny $x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}}{2a}}$ .

Diskriminant ryze kvadratické rovnice, dané předpisem: $ax^{2}+c=0$ (kde $a,c\neq 0$ ), je $D_{r}=-4ac$ ; pokud je kladný (liší se znaménko $a$ a $c$ ), má daná rovnice dva navzájem opačné kořeny: $x_{1,2}=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}$ .

Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru, dané předpisem: $x^{2}+bx+c=0$ , je $D_{n}=b^{2}-4c$ .

Diskriminant triviální kvadratické rovnice $ax^{2}=0$ (kde $a\neq 0$ ) je roven $D=0$ .

Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů kvadratického polynomu

Pro kořeny $x_{1},x_{2}$ polynomu druhého stupně platí:

$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}),$

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$ ; $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$ .

Vyjádření: $b=-(x_{1}+x_{2})a;$ ${\textstyle c=x_{1}x_{2}a}$ ;

Dosazením do vzorce pro výpočet diskriminantu: $D=b^{2}-4ac=(x_{1}+x_{2})^{2}a^{2}-4a^{2}x_{1}x_{2}$

Diskriminant kubických rovnic

U kubické rovnice $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ (kde $a\neq 0$ ) je diskriminant $D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd$ .

Reference

↑ ŠVRČEK, Jaroslav; HRUBÝ, Dag. Využití diskriminantu kvadratické rovnice [online]. Olomouc: PF UP, 2017 [cit. 2021-04-06]. Dostupné online.
↑ ČERMÁK, Pavel. Odmaturuj! z matematiky. 2., opr. vyd. Brno: Didaktis 208 s. ISBN 80-86285-97-9, ISBN 978-80-86285-97-9. OCLC 53261459

Související články

Externí odkazy

Diskriminant v encyklopedii MathWorld (anglicky)

[1] ŠVRČEK, Jaroslav; HRUBÝ, Dag. Využití diskriminantu kvadratické rovnice [online]. Olomouc: PF UP, 2017 [cit. 2021-04-06]. Dostupné online.

[2] ČERMÁK, Pavel. Odmaturuj! z matematiky. 2., opr. vyd. Brno: Didaktis 208 s. ISBN 80-86285-97-9, ISBN 978-80-86285-97-9. OCLC 53261459

[1]

[2]

@@ Řádek 1: / Řádek 1: @@
+{{Pracuje se|2=7. 4. 2021, 16:53 (CEST)}}
 '''Diskriminant''' je [[polynom]] s [[reálné číslo|reálnými]] nebo [[imaginární číslo|imaginárními]] koeficienty, který se používá při řešení [[polynomická rovnice|polynomických rovnic]], především [[kvadratická rovnice|kvadratických]], také při studiu vlastností kvadratických funkcí nebo při určování tečen ke kuželosečkám.<ref>{{Citace elektronické monografie
 | příjmení = Švrček
@@ Řádek 35: / Řádek 38: @@
 Diskriminant [[kvadratická rovnice|ryze kvadratické rovnice]], dané předpisem: <math>ax^2 + c = 0</math> (kde <math>a, c \neq 0</math>), je <math>D_r = -4ac</math>; pokud je kladný (liší se znaménko <math>a</math> a <math>c</math>), má daná rovnice dva navzájem opačné kořeny: <math>x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}</math>.
-Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru, dané předpisem: <math>x^2 + bx + c = 0</math>, je <math>D_n = b^2 - 4c</math> (pro výpočet kořenů lze použít také [[Viètovy vzorce]]).
+Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru, dané předpisem: <math>x^2 + bx + c = 0</math>, je <math>D_n = b^2 - 4c</math>.
+Diskriminant triviální kvadratické rovnice <math>ax^2 = 0</math> (kde <math>a \neq 0</math>) je roven <math>D = 0</math>.
+== Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů kvadratického polynomu ==
+Pro kořeny <math>x_1, x_2</math> polynomu druhého stupně platí:
+<math>ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2),</math>
+<math>x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}</math> ; <math>x_1x_2 =\frac{c}{a}</math>.
+Vyjádření: <math>b = - (x_1 + x_2)a; </math>  <math display="inline">c = x_1x_2a</math>;
+Dosazením do vzorce pro výpočet diskriminantu: <math>D = b^2 - 4ac = (x_1 + x_2)^2 a^2 - 4a^2x_1x_2</math>
-Diskriminant triviální kvadratické rovnice <math>ax^2 = 0</math> (kde <math>a \neq 0</math>) je roven 0.
 == Diskriminant kubických rovnic ==