Konvexní množina

Konvexní množina M

Nekonvexní množina N

Mnohostěn: a) konvexní, b) nekonvexní

V matematice se pod pojmem konvexní množina obvykle rozumí podmnožina Euklideova prostoru anebo vektorového prostoru, která splňuje následující vlastnost:

• úsečka spojující libovolné dva body této množiny je obsažena v dané množině.

Jde tedy o množinu M takovou, že pro všechna $a,b\in \mathbf {M}$ je splněna podmínka

${\overline {ab}}:=\{\lambda a+(1-\lambda )b\mid 0\leq \lambda \leq 1\}\subseteq M$ (za předpokladu že sčítání a násobení ve vzorci má smysl).

Příklady

• úsečka přímka i polorovina jsou konvexní
• každý trojúhelník je konvexní
• mnohoúhelník v rovině je konvexní, jestliže
  • žádný jeho vnitřní úhel není větší než 180°
  • vznikne jako průnik konečně mnoha polorovin.
• Kruh a koule jsou konvexní
• Krychle a kvádr jsou konvexní
• Kružnice ani kulová plocha nejsou konvexní

Vlastnosti

• Průnik libovolného souboru konvexních množin je konvexní. To umožňuje pro libovolnou množinu definovat jení konvexní obal jako průnik všech jejích konvexních nadmnožin. Je to její nejmenší konvexní nadnožina (ve smyslu inkluze).
• Sjednocení konvexních množin může, ale nemusí být konvexní: Např. sjednocení dvou různých jednobodových množin není konvexní.

Související články

• Obloukově souvislá množina
• Geometrický útvar
• Úsečka
• Křivka