PID regulátor

Regulátor PID v regulační smyčce. Vlevo žádaná hodnota (setpoint), vpravo měřený výstup (output) z procesu, rozdílem žádané hodnoty a výstupu vzniká regulační odchylka (error), která je zpracována PID složkami regulátoru a jako akční veličina vstupuje do procesu.

PID regulátor patří mezi spojité regulátory, složený z proporcionální, integrační a derivační části. V systémech řízení se řadí před řízenou soustavu. Do regulátoru vstupuje regulační odchylka $e(t)$$e(t)$ a vystupuje akční veličina $x(t)$$x(t)$. Přenos regulátoru se vyjadřuje jako poměr těchto veličin

$f_{R}(t)={\frac {x(t)}{e(t)}}$$f_R (t) = \frac{x(t)}{e(t)}$

V technických oborech se používá Laplaceova transformace

$F_{R}(s)={\frac {X(s)}{E(s)}}$$F_R (s) = \frac{X(s)}{E(s)}$

Proporcionální složka regulátoru

Proporcionální složka, P regulátor, je prostý zesilovač. Regulační odchylka je přímo úměrná akční veličině.

$x(t)=r_{0}e(t)$$x(t) = r_0 e(t)$

kde $r_{0}$$r_0$ je činitel zesílení, někdy je také uváděn jako konstanta zesílení $K_{R}$$K_R$. Po použití transformace

$F_{R}(s)={\frac {X(s)}{E(s)}}=r_{0}=K_{R}$$F_R (s) = \frac{X(s)}{E(s)} = r_0 = K_R$

U jednoduchých soustav, kde výstup je zhruba proporcionální akční veličině plus působení "poruchové veličiny" se působení poruchy projevuje trvalou regulační odchylkou. Velikost regulační odchykly je pak úměrná velikosti poruchové veličiny a nepřímo úměrná zesílení regulátoru. Zvyšování zesílení nad určitou mez však vede k nestabilitě regulované soustavy.

Malá trvalá regulační odchylka může být v mnoha případech přijatelná, použití regulátoru každopádně zlepší chování systému.

Pásmo proporcionality

Pásmo proporcionality udává, o kolik procent se musí změnit vstupní signál (regulační odchylka), aby se výstup (akční veličina) změnil v celém rozsahu

$pp={\frac {1}{r_{0}}}\cdot 100\%$$pp = \frac{1}{r_0} \cdot 100%$

Integrační složka regulátoru

Integrační složka regulátoru, I regulátor, je takový regulátor, kdy akční veličina je přímo úměrná integrálu regulační odchylky. $r_{i}$$r_i$ je zesílení integračního regulátoru.

$x(t)=r_{i}\int _{0}^{t}e(t)dt+x(0)$$x(t) = r_i \int_{0}^{t} e(t) dt + x(0)$

Tomu odpovídá přenos

$F_{R}(s)={\frac {X(s)}{E(s)}}={\frac {r_{i}}{s}}={\frac {1}{T_{i}s}}$$F_R (s) = \frac{X(s)}{E(s)} = \frac{r_i}{s} = \frac{1}{T_i s}$

V technické praxi se častěji setkáme s časovou konstantou $T_{i}$$T_i$ než se zesílením integračního regulátoru $r_{i}$$r_i$.

Následující úvaha platí pro jednoduché soustavy, kde výstup je zhruba proporcionální akční veličině plus působení "poruchové veličiny". V takovém případě dokáže I-regulátor úplně eliminovat regulační odchylku. Regulační děj je však pomalejší a proti P-regulátoru může být horší stabilita soustavy. V technické praxi může docházet vlivem integrace k překmitům. Tento jev se nazývá wind-up a může se řešit přidáním nespojitého prvku (např. relé) mezi regulátor a soustavu, který v případě nulové odchylky omezí akční veličinu.

Derivační složka regulátoru

Derivační složka regulátoru, D regulátor, je takový regulátor, kdy akční veličina je přímo úměrná derivaci regulační odchylky. Vzhledem k tomu, že "čistá" derivace není technicky realizovatelná, mluvíme o ideálním D regulátoru.

$x(t)=r_{d}{\frac {de(t)}{dt}}$$x(t) = r_d \frac {de(t)}{dt}$

Tomu odpovídá přenos

$F_{R}(s)={\frac {X(s)}{E(s)}}=r_{d}s$$F_R (s) = \frac{X(s)}{E(s)} = r_d s$

Derivační regulátor se používá pro zrychlení regulačního děje. Jeho nevýhodou je, že zesiluje šum, což může v některých případech vést až k jeho praktické nepoužitelnosti. Samostatně se D-regulátor nikdy nevyskytuje. Jako D-složka je součástí PD regulátoru a PID regulátoru.

Realizovatelný D-člen

D regulátor (či spíše D-člen regulátoru) můžeme technicky realizovat (nebo jeho realizaci modelovat) přidáním slabé integrační složky s "realizační konstantou" ε. Výstupem "Čistého" D-člen by totiž měl být v případě skokové změny na vstupu Diracův skok, což není fyzikálně možné. Při digitální implementaci by to jednak vedlo k aritmetickému přetečení, jednak je reakce regulátoru omezena vzorkováním.

Konstanta ε se může pro modelování reálného D-členu uvažovat např. stokrát menší než hodnota v čitateli, ale pokud je příliš malá (např. pětsetkrát), nemusí být výpočetní model regulátoru stabilní.

$F_{R}(s)={\frac {X(s)}{E(s)}}={\frac {r_{d}s}{\varepsilon s+1}}$$F_R (s) = \frac{X(s)}{E(s)} = \frac{r_d s}{\varepsilon s + 1}$

PID regulátor

PID regulátor si můžeme představit jako součet P-regulátoru, I-regulátoru a D-regulátoru:

$x(t)=r_{0}e(t)+r_{d}{\frac {de(t)}{dt}}+r_{i}\int _{0}^{t}e(t)dt+x(0)$$x(t) = r_0 e(t) + r_d \frac {de(t)}{dt} + r_i \int_{0}^{t} e(t) dt + x(0)$

Tomu odpovídá přenos

$F_{R}(s)={\frac {X(s)}{E(s)}}=r_{0}+r_{d}s+{\frac {r_{i}}{s}}=K_{R}(1+T_{D}s+{\frac {1}{T_{I}s}})=k_{R}{\frac {(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}{s}}$$F_R (s) = \frac{X(s)}{E(s)} = r_0 + r_d s + \frac{r_i}{s} = K_R(1 + T_D s + \frac{1}{T_I s}) = k_R\frac{(T_1 s + 1)(T_2 s + 1) }{s}$

Pro praktickou realizaci se používá tvar s $K_{R}$$K_R$, $T_{D}$$T_D$ a $T_{I}$$T_I$. Poslední tvar se používá v simulacích a teoretických výpočtech. Pro modelování technicky realizovatelného regulátoru je možné doplnit "realizační konstantu" pro D-složku regulátoru.

Redukované varianty PID regulátoru

Jedná se o P-regulátor, PD-regulátor a PI-regulátor. Na tyto regulátory můžeme pohlížet jako na PID regulátor u kterého je vyřazena některá složka. To může být nezbytné např. kvůli stabilitě soustavy, kvůli zjednodušení implementace (nebo nastavování parametrů) regulátoru atp.

Odkazy

Literatura

• I. Švarc, M. Šeda, M. Vítečková: Automatické řízení
• P. Blaha, P. Vavřín: Řízení a regulace 1. Skriptum VUT

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu PID regulátor ve Wikimedia Commons
• (česky)Průmyslové PID regulátory: Tutorial, Miloš Schlegel, REX Controls, rexcontrols.cz
• (česky)PID Controller Laboratory, pidlab.com
• PID s Operacnim Zesilovacem