PID regulátor

Regulátor PID v regulační smyčce. Vlevo žádaná hodnota (setpoint), vpravo měřený výstup (output) z procesu, rozdílem žádané hodnoty a výstupu vzniká regulační odchylka (error), která je zpracována PID složkami regulátoru a jako akční veličina vstupuje do procesu.

PID regulátor patří mezi spojité regulátory, složený z proporcionální, integrační a derivační části. V systémech řízení se řadí před řízenou soustavu. Do regulátoru vstupuje regulační odchylka $e(t)$ a vystupuje akční veličina $u(t)$ (někdy značeno $x(t)$). Přenos regulátoru se vyjadřuje jako poměr těchto veličin

$f_{R}(t)={\frac {u(t)}{e(t)}}={\frac {x(t)}{e(t)}}$

V technických oborech se používá Laplaceova transformace

$G_{R}(s)={\frac {U(s)}{E(s)}}={\frac {X(s)}{E(s)}}$

Proporcionální složka regulátoru

Proporcionální složka, P regulátor, je prostý zesilovač. Akční veličina je přímo úměrná regulační odchylce.

$x(t)=r_{0}e(t)$

kde $r_{0}$ je činitel zesílení, někdy je také uváděn jako konstanta zesílení $K_{R}$. Po použití transformace

$G_{R}(s)={\frac {U(s)}{E(s)}}=r_{0}=K_{R}$

U jednoduchých soustav, kde výstup je zhruba proporcionální akční veličině plus působení „poruchové veličiny“ se působení poruchy projevuje trvalou regulační odchylkou. Velikost regulační odchylky je pak úměrná velikosti poruchové veličiny a nepřímo úměrná zesílení regulátoru. Zvyšování zesílení nad určitou mez však vede k nestabilitě regulované soustavy.

Malá trvalá regulační odchylka může být v mnoha případech přijatelná, použití regulátoru každopádně zlepší chování systému.

Pásmo proporcionality

Pásmo proporcionality udává, o kolik procent se musí změnit vstupní signál (regulační odchylka), aby se výstup (akční veličina) změnil v celém rozsahu

$pp={\frac {1}{r_{0}}}\cdot 100\%$

Integrační složka regulátoru

Integrační složka regulátoru, I regulátor, je takový regulátor, kdy akční veličina je přímo úměrná integrálu regulační odchylky. $r_{i}$ je zesílení integračního regulátoru.

$u(t)=r_{i}\int _{0}^{t}e(t)dt+x(0)$

Tomu odpovídá přenos

$G_{R}(s)={\frac {U(s)}{E(s)}}={\frac {r_{i}}{s}}={\frac {1}{T_{i}s}}$

V technické praxi se častěji setkáme s časovou konstantou $T_{i}$ než se zesílením integračního regulátoru $r_{i}$.

Následující úvaha platí pro jednoduché soustavy, kde výstup je zhruba proporcionální akční veličině plus působení „poruchové veličiny“. V takovém případě dokáže I-regulátor úplně eliminovat regulační odchylku. Regulační děj je však pomalejší a proti P-regulátoru může být horší stabilita soustavy. V technické praxi může docházet vlivem integrace k překmitům. Tento jev se nazývá wind-up a může se řešit přidáním nespojitého prvku (např. relé) mezi regulátor a soustavu, který v případě nulové odchylky akční veličinu omezí.

Derivační složka regulátoru

Derivační složka regulátoru, D regulátor, je takový regulátor, kdy akční veličina je přímo úměrná derivaci regulační odchylky. Vzhledem k tomu, že „čistá“ derivace není technicky realizovatelná, mluvíme o ideálním D regulátoru.

$x(t)=r_{d}{\frac {de(t)}{dt}}$

Tomu odpovídá přenos

$G_{R}(s)={\frac {U(s)}{E(s)}}=r_{D}s$

Derivační regulátor se používá pro zrychlení regulačního děje. Jeho nevýhodou je, že zesiluje šum, což může v některých případech vést až k jeho praktické nepoužitelnosti. Samostatně se D-regulátor nikdy nepoužívá, pouze jako D-složka je součástí PD regulátoru a PID regulátoru.

Realizovatelný D-člen

D regulátor (či spíše D-člen regulátoru) můžeme technicky realizovat (nebo jeho realizaci modelovat) přidáním slabé integrační složky s „realizační konstantou“ ε. Výstupem „čistého“ D-členu by totiž v případě skokové změny na vstupu byl Diracův skok, což není fyzikálně možné. Při digitální implementaci by to jednak vedlo k aritmetickému přetečení, jednak je reakce regulátoru omezena vzorkováním.

Konstanta ε se může pro modelování reálného D-členu uvažovat např. stokrát menší než hodnota v čitateli, ale pokud je příliš malá (např. pětsetkrát), nemusí být výpočetní model regulátoru stabilní.

$G_{R}(s)={\frac {U(s)}{E(s)}}={\frac {r_{D}s}{\varepsilon s+1}}$

PID regulátor

PID regulátor si můžeme představit jako součet P-regulátoru, I-regulátoru a D-regulátoru:

$u(t)=r_{0}e(t)+r_{D}{\frac {de(t)}{dt}}+r_{i}\int _{0}^{t}e(t)dt+x(0)$

Tomu odpovídá přenos

$F_{R}(s)={\frac {X(s)}{E(s)}}=r_{0}+r_{d}s+{\frac {r_{i}}{s}}=K_{R}(1+T_{D}s+{\frac {1}{T_{I}s}})=k_{R}{\frac {(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}{s}}$

Pro praktickou realizaci se používá tvar s $K_{R}$, $T_{D}$ a $T_{I}$. Poslední tvar se používá v simulacích a teoretických výpočtech. Pro modelování technicky realizovatelného regulátoru je možné doplnit „realizační konstantu“ pro D-složku regulátoru.

Při regulaci PID regulátorem na počátku regulace převládá vliv derivační složky, postupem času má větší vliv integrační složka.

Redukované varianty PID regulátoru

Jedná se o P-regulátor, PD-regulátor a PI-regulátor. Na tyto regulátory můžeme pohlížet jako na PID regulátor, u kterého je vyřazena některá složka. To může být nezbytné např. kvůli stabilitě soustavy, kvůli zjednodušení implementace (nebo nastavování parametrů) regulátoru atp.

Diskrétní forma PID regulátoru

Pro realizaci PID regulátoru jako algoritmu pro PLC se používá diskrétní forma PID regulátoru. Ta má dva tvary:

• absolutní $x(k)=K_{P}E(k)+\sum K_{I}E(k)\Delta t+K_{D}{\frac {E(k)-E(k-1)}{\Delta t}}$
• přírůstkový (rychlostní) $x(k)=x(k-1)+K_{P}\left(E(k)-E(k-1)\right)+K_{I}E(k)\Delta t+K_{D}{\frac {E(k)-2E(k-1)+E(k-2)}{\Delta t}}$

Výhodou přírůstkové formy diskrétního PID regulátoru je odolnost vůči wind-up efektu a dále implementovatelnost adaptivních parametrů s beznárazovou změnou jejich hodnot.

Modifikace PID regulátoru

PIDD²

PIDD² je varianta PID regulátoru, která při výpočtu velikosti akčního zásahu navíc využívá ještě druhou derivaci regulační odchylky, akční zásah je určování podle vztahu

$x(t)=r_{0}e(t)+r_{i}\int _{0}^{t}e(t)dt+r_{d}{\frac {de(t)}{dt}}+r_{d2}{\frac {d^{2}e(t)}{dt^{2}}}$,

kterému odpovídá přenos

$F_{PIDD^{2}}(s)={\frac {X(s)}{E(s)}}=r_{0}+{\frac {r_{i}}{s}}+r_{d}s+r_{d2}s^{2}$.

Neceločíselný PID

Neceločíselný PID regulátor je regulátor s přenosem

$F_{NPID}(s)={\frac {X(s)}{E(s)}}=r_{0}+{\frac {r_{i}}{s^{\lambda }}}+r_{d}s^{\mu }$,

kde λ a μ nejsou celá čísla.

PID řízený událostmi

PID řízený událostmi dostává informace o velikosti regulované veličiny nebo regulační odchylky nepravidelně, při splnění nastavené podmínky, např. pouze když se regulovaná veličina změní podstatně. Existuje několik realizací PID regulátoru řízeného událostmi, jednou z úspěšně aplikovaných v průmyslu je algoritmus PIDplus.

Reference

Literatura

• I. Švarc, M. Šeda, M. Vítečková: Automatické řízení
• P. Blaha, P. Vavřín: Řízení a regulace 1. Skriptum VUT

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu PID regulátor na Wikimedia Commons
• (česky)Průmyslové PID regulátory: Tutorial, Miloš Schlegel, REX Controls, rexcontrols.cz
• (česky)PID Controller Laboratory, pidlab.com
• Single Active Element PID Controllers (PID s operačním zesilovačem)