Kongruence

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o matematickém pojmu ekvivalence na algebraické struktuře. Další významy jsou uvedeny v článku Kongruence (rozcestník).

Kongruence je algebraický pojem označující ekvivalenci na algebře, která je slučitelná se všemi operacemi na této algebře (tedy například, pokud jsou tři páry prvků ekvivalentní a výsledky nějaké operace na těchto párech jsou také ekvivalentní, pak existuje pro tyto páry kongruence).

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Předpokládejme, že je algebraická struktura s množinou prvků a operacemi , operace je -ární.

Binární relaci na X nazveme kongruence, pokud je to ekvivalence a pokud pro každou z vyjmenovaných operací a každé prvky platí

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Chceme ověřit, zda na grupě celých čísel je relace " je násobkem deseti" kongruencí. Grupu je možné chápat jako strukturu s jednou operací nebo se třemi. Obě konvence jsou ekvivalentní, použijme tedy tu první: jedinou operací je sčítání (proto ). je jen jiný zápis pro a+b. Tato operace je binární (potřebuje dva "vstupy", takže ).

Zvolíme-li a1 = 3, a2 = 5, b1 = 13, b2 = 45, pak podle definice kongruence musí platit 3+5 ~ 13 + 45, což platí (8 a 58 se liší o násobek deseti).

Tím jsme ověřili jen konkrétní příklad; důkaz platný pro všechny hodnoty a lze provést takto: Pro obě i platí , čili existují celá čísla tak, že . Potom platí: , což je násobek deseti, takže

Kongruence zbytkových tříd[editovat | editovat zdroj]

Nejznámějším příkladem kongruence je rozklad množiny všech celých čísel na zbytkové třídy po dělení číslem , tj. relace, která je zavedena vztahem:


Jinými slovy: dvě čísla jsou ekvivalentní (modulo n), pokud mají stejný zbytek po dělení číslem . Pokud je z kontextu jasné, pro které je kongruence zapsána (nebo na nezáleží, protože zápis je platný pro jeho libovolnou hodnotu), vynechává se konec zápisu a píše se prostě . Celý zápis se čte „a je kongruentní s b modulo n“.

Vlastnosti kongruence modulo n[editovat | editovat zdroj]

  • , jinými slovy: relace je kongruence vzhledem ke sčítání
  • , jinými slovy: relace je kongruence vzhledem k odčítání
  • , jinými slovy: relace je kongruence vzhledem k násobení

Je-li navíc prvočíslo, pak navíc podle Malé Fermatovy věty:

Význam kongruence modulo n[editovat | editovat zdroj]

Vlastnosti kongruence modulo n umožňují počítat pouze se zbytkovými třídami a výsledek pak zobecnit na všechna čísla - v takovýchto výpočtech zastupuje například číslo 3 v modulu 5 všechna čísla s ním kongruentní - 8,13,18,…, ale také -2,-7,… Kongruenci lze při výpočtech týkajících se dělitelnosti do jisté míry používat podobně jako rovnost při úpravách algebraických výrazů nebo při řešení rovnice.

Faktoralgebra[editovat | editovat zdroj]

Je-li R kongruence, pak faktormnožině může být dána přirozená struktura takto (výsledek nezávisí na volbě reprezentantů):

Faktormnožina s těmito operacemi se nazývá faktoralgebra a její operace se obvykle značí stejně, jako operace původní algebry (v tomto případě tedy ; v článku je však použito označení pro zdůraznění, že se nejedná o tutéž operaci).

Toto je nejběžnější způsob, jak formálně definovat okruh modulo n.

Příklad faktoralgebry[editovat | editovat zdroj]

Na okruhu celých čísel uvažujme kongruenci "x-y je sudé číslo". Faktormnožina bude mít dva prvky: množina sudých celých čísel a množina lichých celých čísel . Na této faktormnožině lze přirozeně zavést operaci , která se však obvykle značí , pokud nehrozí nedorozumění. Chceme zjistit např. výsledek operace "lichá čísla sudá čísla". Zvolíme tedy nějaké celé číslo tak, aby byla množina lichých čísel, tzv. reprezentanta množiny lichých čísel. Zvolme například . Pak výše uvedený vzorec říká:

Dosazením do pravé strany dostaneme:

Takže výsledek operace "lichá čísla sudá čísla" je množina lichých čísel.

Kdybychom vybrali jiné reprezentanty, např. , dospěli bychom k výsledku , což je množina totožná s množinou . To je ilustrací (nikoli však důkazem), že výsledek je nezávislý na volbě reprezentantů. Kdyby nezávislý nebyl, pak by definice byla nekorektní.

Vztah kongruence a homomorfismů[editovat | editovat zdroj]

Binární relace na A je kongruencí právě tehdy, pokud je jádrem nějakého homomorfismu z A do nějaké struktury B.

Pro každý homomorfismus f z A do B platí, že jádro homomorfismu Ker f je kongruence na A. (Pojem jádro homomorfismu je někdy chápán jako podstruktura A, ale zde se držíme obecnější definice, že jde o relaci na A.) Proto každý homomorfismus definuje faktoralgebru. Podle první věty o izomorfismu je tato faktoralgebra izomorfní s oborem hodnot f.

Platí i opačný vztah: Každá kongruence R je jádrem nějakého homomorfismu. Příkladem takového homomorfismu je zobrazení . V příkladě níže toto zobrazení jakémukoli lichému číslu (např. 3) přiřadí množinu všech lichých čísel a sudému číslu množinu všech sudých čísel. Nejedná se o izomorfismus, neboť zobrazení není prosté .

Příklad: Zobrazení přiřadí každému sudému číslu hodnotu 1 a lichému číslu -1. Jádrem tohoto zobrazení je právě výše zmíněná relace "x-y je sudé číslo". Faktoralgebra i obor hodnot jsou dvouprvkové množiny. Izomorfismus mezi nimi přiřadí množině všech sudých čísel hodnotu 1 a množině všech lichých čísel -1. Tento izomorfismus není totožný se zobrazením f, neboť jeho argumentem jsou množiny čísel, zatímco argumentem f jsou čísla.

Související články[editovat | editovat zdroj]