Malá Fermatova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Malá Fermatova věta je matematická věta, která tvrdí, že pro každé prvočíslo p a každé celé číslo a takové, že NSD(a,p) = 1, platí

, anebo ekvivalentně,
.

To znamená, že číslo je dělitelné prvočíslem p.

Věta je nazvána podle francouzského matematika Pierra de Fermat (16011665); přívlastek malá ji odlišuje od Velké Fermatovy věty. Využívá se například pro Fermatův test prvočíselnosti.

Zobecnění[editovat | editovat zdroj]

Pro libovolná přirozená čísla a taková, že NSD(a,n) = 1, platí

, kde je Eulerova funkce.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

  • Buď p=5, a=2. Jelikož 5 je prvočíslo a 2 není násobek 5, má podle malé Fermatovy věty platit, že je dělitelné 5. Vskutku, je dělitelné 5.

Důkazy[editovat | editovat zdroj]

Důkaz indukcí[editovat | editovat zdroj]

Buď a nechť pro přirozená . Pak (ostatní členy v binomickém rozvoji jsou dělitelné ) a podle indukčního předpokladu . Tedy , neboli . Tedy tvrzení platí pro . Dále pro platí , což plyne opět z binomického vzorce. Zbývá si uvědomit, že libovolné číslo , které není násobkem , je možno napsat jako , kde . Tedy .

Elementární důkaz[editovat | editovat zdroj]

Mějme různých písmen (nějaké) abecedy a uvažujme množinu všech slov o písmenech z oné abecedy (nad onou abecedou), kde je prvočíslo. Takových slov je zřejmě . Buď .

Rozdělme tuto množinu slov do menších podmnožin takovým způsobem, že slovo právě když . Buď nejmenší takové, že . Zřejmě , proto buď anebo . Tedy každá z těchto podmnožina může mít buď jeden prvek (pokud se v slově opakuje p krát jedno písmeno), anebo p prvků (v ostatních případech). Jednoprvkových množin je však , neboť jsou to právě množiny . Zbylá slova se tedy dají rozdělit do podmnožin velikosti , tedy .

Důkaz pomocí teorie grup[editovat | editovat zdroj]

Buď prvočíslo. Pak množina zbytkových tříd je těleso, jehož nenulové prvky tvoří multiplikativní grupu řádu . Libovolný prvek generuje její cyklickou podgrupu řádu , t.j. je nejmenší číslo, pro které . Podle Lagrangeovy věty, počet prvků podgrupy dělí počet prvků grupy, tedy . Tedy v . Tedy pro máme v .

Důkaz pomocí součinu zbytkových tříd[editovat | editovat zdroj]

Buď opět prvočíslo, množina zbytkových tříd, jejíž nenulové prvky tvoří multiplikativní grupu řádu . Násobení prvkem permutuje prvky , proto součin všech prvků se nezmění:

Součin na obou stranách je nesoudělný s (poněvadž každý prvek součinu je nesoudělný s ). Můžeme tedy zkrátit součin a dostáváme v .

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Jaroslav Blažek, Emil Calda, Blanka Kussová: Algebra a teoretická aritmetika I., SPN Praha 1979