Komutativní těleso

Komutativní těleso (někdy stručně těleso podle německého körper, někdy též pole z anglického field) je algebraická struktura, na které jsou definovány dvě binární operace, sčítání a násobení, pro které platí řada určených vlastností. Jedná se o taková tělesa, kde násobení splňuje navíc komutativitu, respektive takové komutativní okruhy, kde navíc existuje inverzní prvek pro obě binární operace (okruh vyžadoval existenci inverzního prvku jen pro operaci +).

Tělesa, ve kterých násobení není komutativní, se nazývají nekomutativní tělesa.

Definice komutativního tělesa

Trojici $({\mathcal {T}},+,\cdot )$, kde ${\mathcal {T}}$ je množina a + (sčítání) a $\cdot$ (násobení) jsou binární operace, nazveme komutativním tělesem, je-li $({\mathcal {T}},+,\cdot )$ okruh a platí-li navíc

• pro každé $x\in {\mathcal {T}}\setminus \{0\}$ existuje $y\in {\mathcal {T}}$ tak, že $x\cdot y=y\cdot x=1$, což značíme $y=x^{-1}$ (existence inverzního prvku k násobení), a
• pro každé $x,y\in {\mathcal {T}}$ platí $x\cdot y=y\cdot x$ (komutativita násobení).

Tělesa s přídavnou strukturou

Vzhledem k tomu, že tělesa jsou v matematice všudypřítomná, jsou uvažována některá vylepšení konceptu tělesa pro přizpůsobení potřebám konkrétních matematických oblastí.

Topologické těleso

Těleso F se nazývá topologické, když množina F je topologickým prostorem, v kterém všechny operace tělesa (sčítání, násobení, zobrazení a ↦ −a a a ↦ a⁻¹) jsou spojitá zobrazení vzhledem k uvažované topologii. Topologie těles obvykle bývá indukována metrikou, tj. funkcí

d : F × F → R,

která měří vzdálenosti mezi libovolnými body F. Topologická tělesa jsou speciálním případem topologických okruhů.

Příklady těles

• Racionální čísla $\mathbb {Q}$
• Reálná čísla $\mathbb {R}$ a jejich největší algebraické komutativní nadtěleso, komplexní čísla $\mathbb {C}$
• Konečná tělesa $\operatorname {GF} (p^{n})$
• Racionální funkce nad libovolným komutativním tělesem