Hranice množiny
Vzhled
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Runge_theorem.svg/220px-Runge_theorem.svg.png)
Hranice množiny je v matematice pojem z topologie značící množinu všech takových prvků, jehož každé okolí obsahuje alespoň jeden bod zadané množiny a alespoň jeden bod mimo zadanou množinu. Značí se ∂M. Podobný význam má hranice metrického prostoru a hranice variety s hranicí.
Formální definice v topologii
[editovat | editovat zdroj]Existují tři ekvivalentní definice hranice množiny (X je univerzum):
- Hranice množiny ∂M je uzávěr množiny M bez vnitřku množiny M: ∂M = M \ M°.
- Hranice množiny ∂M je průnik uzávěru M s uzávěrem jejího doplňku: ∂M = M ∩ (X \ M).
- Hranice množiny ∂M je množina všech bodů b univerza X takových, že každé okolí b obsahuje alespoň jeden bod patřící do M a alespoň jeden bod patřící do X \ M.
Příklady
[editovat | editovat zdroj]- Hranicí libovolného prostorového útvaru je jeho povrch. Například hranicí koule je sféra.
- Hranicí libovolného rovinného útvaru je patřičná křivka. Například hranicí kruhu je kružnice.
Mějme množinu reálných čísel R s běžnou topologií založenou na otevřených intervalech. Pak:
Poslední dva příklady ukazují, že hranice husté množiny s prázdným vnitřkem je jejím uzávěrem[pozn 1].
- V množině racionálních čísel s topologií otevřených intervalů, hranice množiny , kde a je iracionální, je prázdná množina[pozn 2].
Reference
[editovat | editovat zdroj]- John L. Kelley: General topology, Birkhäuser, 1975
- James Munkres: Topology, Cambridge University Press, 2nd edition, 1988
Poznámky
[editovat | editovat zdroj]Související články
[editovat | editovat zdroj]Externí odkazy
[editovat | editovat zdroj]Obrázky, zvuky či videa k tématu hranice množiny na Wikimedia Commons