Hermitovská matice

Hermitovská matice neboli samoadjungovaná matice neboli samosdružená matice je v oboru lineární algebry taková čtvercová matice s prvky z oboru komplexních čísel, ve které jsou všechny dvojice prvků $a_{ij}$, $a_{ji}$ komplexně sdružené, tedy

$a_{ij}={\overline {a_{ji}}}\,.$

Totéž lze vyjádřit podmínkou, že pro danou matici je matice adjungovaná rovna matici transponované, tedy platí:

$A=A^{*}={\overline {A}}^{\mathrm {T} }={\overline {A^{\mathrm {T} }}}$

Příklady

• Matice

  ${\begin{pmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{pmatrix}},$ kde $i={\sqrt {-1}}$ je imaginární jednotka, je hermitovská.

• Pauliho matice:

  $\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

  jsou hermitovské.

Vlastnosti

• Reálná část hermitovské matice je symetrická, tj. $\mathrm {Re} (a_{jk})=\mathrm {Re} (a_{kj})\,,$ zatímco imaginární část je antisymetrická, tj. $\mathrm {Im} (a_{jk})=-\mathrm {Im} (a_{kj})\,.$
• Na diagonále má hermitovská matice reálná čísla.
• Pro matice z reálných čísel odpovídají hermitovské matice právě těm symetrickým.
• Hermitovské matice jsou normální, tj. $A^{*}\cdot A=A\cdot A^{*}$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Hermitesche Matrix na německé Wikipedii.