Přeskočit na obsah

Elementární matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V lineární algebře se elementární maticí nazývá čtvercová matice, která vznikne z jednotkové matice provedením jedné (řádkové) elementární operace. Elementární matice řádu s prvky z komutativního tělesa generují obecnou lineární grupu . Maticový součin s elementární maticí zleva reprezentuje elementární řádkové operace, zatímco součin zprava reprezentuje elementární sloupcové operace.

Elementární řádkové operace se používají v Gaussově eliminační metodě pro převod matice na odstupňovaný tvar, případně v Gaussově–Jordanově eliminační metodě pro další převod matice na redukovaný odstupňovaný tvar.

Elementární řádkové operace

[editovat | editovat zdroj]

Existují tři typy elementárních matic, které odpovídají třem typům řádkových operací (případně sloupcovým operacím):

Záměna řádků
Řádek matice může být prohozen s jiným řádkem, např. -tý řádek s -tým, pro :
Násobení řádku
Každý prvek v -tém řádku je vynásoben nenulovou konstantou.
Přičtení násobku řádku
Řádek může být nahrazen součtem tohoto řádku s násobkem jiného řádku.

Je-li elementární matice, čili, jak je popsáno níže, je jedna z matic a , pak provedení elementární řádkové operace na matici odpovídá součinu matice s elementární maticí zleva, neboli .

Elementární matici pro jakoukoli řádkovou operaci lze získat provedením elementární řádkové operace na jednotkovou matici. Tento fakt lze chápat jako instanci Jonedova lemmatu aplikovaného na kategorii matic.

Záměna řádků

[editovat | editovat zdroj]
Související informace naleznete také v článku Permutační matice.

Prvním typem elementární řádkové operace je záměna všech prvků -tého řádku s odpovídajícími prvky -tého řádku dané matice . Příslušnou elementární matici získáme z jednotkové matice záměnou -tého a -tého řádku.

Formálně:

Matice vzniklá vzájemnou záměnou -tého a -tého řádku v matici je rovna matici .

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]
  • Matice je sama k sobě inverzní: .
  • Determinant matice je roven minus jedné: . Pro každou čtvercovou matici odpovídající velikosti platí: .

Nenulový násobek řádku

[editovat | editovat zdroj]

Dalším typem elementární řádkové operace na je vynásobení všech prvků v -tém řádku dané matice nenulovým skalárem z tělesa (obvykle jde o reálné nebo komplexní číslo). Příslušná elementární matice je diagonální matice, jejíž všechny prvky na diagonále jsou jedničky, kromě -té pozice obsahující .

Formálně:

Matice vzniklá z vynásobením -tého řádku číslem je rovna matici .

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]
  • Inverzní matice k je diagonální. Platí: .
  • Determinant splňuje: . Pro čtvercovou matici odpovídající velikosti platí .

Přičtení násobku řádku

[editovat | editovat zdroj]

Posledním typem řádkové operace je přičtení -násobku -tého řádku k -tému řádku matice , kde je libovolný skalár. Příslušná elementární matice je trojúhelníková matice vzniklá z jednotkové matice doplněním hodnoty na pozici .

Formálně:

Přičtení -násobku -tého řádku k -tému řádku v matici dává matici .

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]
  • Odpovídající transformace jsou určitým druhem zkosení (anglicky transvections).
  • Inverzní matice k je trojúhelníková. Platí: .
  • Determinant splňuje . Pro čtvercovou matici odpovídajícího řádu platí .

Elementární sloupcové operace

[editovat | editovat zdroj]

Elementární sloupcové operace odpovídají součinům s elementárními maticemi zprava:

  • Matice vzniklá vzájemnou záměnou -tého a -tého sloupce v matici je rovna matici .
  • Matice vzniklá z vynásobením -tého sloupce skalárem je rovna matici .
  • Přičtení -násobku -tého sloupce k -tému sloupci v matici dává matici .

Společné vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]

Elementární operace záměna řádků a přičtení násobku řádku lze odvodit z operací násobku řádků a prostého přičtení řádku (čili přičtení 1-násobku).

Formálně:

  • neboli přičtení -násobku -tého řádku k -tému lze realizovat jako posloupnost operací:
    • vynásobení -tého řádku nenulovým skalárem ,
    • přičtení již vynásobeného -tého řádku k -tému,
    • vydělením -tého řádku nenulovým skalárem se obnoví jeho původní hodnoty.
  • , přičemž za lze dosadit součin podle předchozího předpisu a získat .

V důsledku stačí uvažovat jen operace násobku a přičtení, je-li třeba dokázat, že elementární operace zachovávají vybrané vlastnosti matic, jako např. hodnost nebo jádro. Argumenty mohou být jednodušší i z toho důvodu, že matice a se od jednotkové matice liší pouze v jednom prvku.

Analogické vztahy platí i pro sloupcové operace.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Elementary matrix na anglické Wikipedii.

Literatura

[editovat | editovat zdroj]
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

[editovat | editovat zdroj]