Délka křivky

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Délka je v matematice vlastnost, kterou lze přiřadit úsečkám, křivkám a jejich parametrizacím. Jedná se o matematickou abstrakci fyzikálních pojmů délky nebo dráhy.

Délka úsečky[editovat | editovat zdroj]

Nechť jsou a dva body v (dvourozměrné) rovině () s kartézskými souřadnicemi a . Pak je délka úsečky podle Pythagorovy věty

V trojrozměrném prostoru () se souřadnicemi a podobně platí

To lze analogicky rozšířit i na vyšší dimenze - počet sčítanců pod odmocninou odpovídá dimenzi prostoru, v němž úsečku uvažujeme. V zásadě lze tyto vzorce zobecnit dvěma způsoby:

  • Buď interpretujeme délku úsečky jako délku vektoru a definujeme délky pro vektory. Odpovídající zobecněný koncept délky pro vektory se nazývá norma.
  • Ještě obecněji můžeme uvažovat místo délek vektorů libovolný (v jistém smyslu rozumný) předpis, který dvojici bodů přiřadí vzdálenost mezi nimi. Takovým nejobecnějším vzdálenostem se říká metriky.

Délky parametrizovaných křivek[editovat | editovat zdroj]

Parametrizace (parametrizovaná křivka) je spojité zobrazení z intervalu do topologického prostoru . Aby jí bylo možné přiřadit délku, musí mít tento prostor další strukturu. V nejjednodušším případě je rovina nebo trojrozměrný prostor s obvyklou definicí délky úseček; zobecnění je možné pro Riemannovy prostory nebo jakékoli metrické prostory. Délku parametrizace označme .

V rovině a v třírozměrném prostoru[editovat | editovat zdroj]

Parametrizace v rovině nebo v prostoru je dána dvěma nebo třemi souřadnicovými funkcemi:

nebo pro .

Pro parametrizace, které jsou po částech spojitě diferencovatelné, je délka definována integrálem po celém rozpětí parametru:

nebo

Motivace[editovat | editovat zdroj]

Rovinná křivka parametrizovaná jako se dá aproximovat krátkými úsečkami , který jsou určeny dvěma složkami a rovnoběžnými s osami souřadnic. Podle Pythagorovy věty je , jak bylo popsáno výše. Celková délka křivky je přibližně rovna součtu všech přímek:

Pokud předpokládáme konvergenci výrazu pro jdoucí k nule, pak je délka součet všech infinitesimálně malých přímek, takže:

.

Fyzikálně (kinematicky) lze integrand také chápat jako příspěvek okamžité rychlosti tělesa pohybujícího se po zkoumané dráze a integrační proměnnou jako čas. To je asi nejsrozumitelnější motivace této definice délky parametrizace.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Kruh s poloměrem

pro
má délku
Při úpravě integrandu se využilo to, že součet čtverců sinu a kosinu stejného argumentu je roven jedné.

Úsek šroubovice s poloměrem a výškou závitu

má délku

Speciální případy[editovat | editovat zdroj]

Délka grafu funkce[editovat | editovat zdroj]

Mějme funkcí spojitě diferencovatelnou na ; délka grafu této funkce mezi body a se vypočítá:

protože můžeme použít parametrizaci pro .

Příklad: Obvod kruhu lze určit pomocí takto: Kružnice s poloměrem splňuje rovnici neboli Derivace je: .

Použitím vzorce máme:

Polární souřadnice[editovat | editovat zdroj]

Mějme rovinnou křivku v polárních souřadnicích , tedy

pro ,

přičemž podle pravidla pro derivaci součinu dostaneme

a

,

takže

.

Délka křivky parametrizované v polárních souřadnicích je proto

.

Riemannovy prostory[editovat | editovat zdroj]

Je-li obecně po částech diferencovatelná křivka v Riemannově prostoru, lze její délku definovat jako

Obecné metrické prostory[editovat | editovat zdroj]

Buď metrický prostor a parametrizace v . Pak se nazývá rektifikovatelná, pokud je supremum

konečné. V tomto případě se říká délka parametrizace .

Délka rektifikovatelné parametrizované křivky je proto supremem délek všech aproximací této křivky pomocí lineárních segmentů. U výše popsaných diferencovatelných parametrizací se obě definice délky shodují.

Existují spojité křivky, které nelze rektifikovat, například Kochova křivka nebo jiné fraktály, křivky vyplňující prostor a skoro jistě realizace Wienerova procesu. Takovým křivkám se také říká křivky nekonečné délky.

Slovo rektifikovat znamená narovnat, to znamená vzít křivku (vlákno) na koncích, roztáhnout je od sebe a natáhnout ji tak, abychom dostali úsečku, jejíž délku můžete měřit přímo.[1]

Délky křivek[editovat | editovat zdroj]

Definice[editovat | editovat zdroj]

K parametrizaci náležející obraz (množina všech bodů, na které se parametr promítne) se nazývá křivka (také stopa parametrizace ). Naopak se nazývá nebo parametrizace křivky . Dvě různé parametrizace mohou definovat stejnou křivku a naopak danou křivku lze parametrizovat prostřednictvím různých parametrizací. Je logické definovat délku křivky jako délku přidružené parametrizace; ale to předpokládá, že pro každou parametrizaci dostaneme stejnou hodnotu. To je intuitivně jasné a ve skutečnosti to může být ukázáno pro injektivní (prostou) parametrizaci. Konkrétně platí:

Buďte a dvě injektivní parametrizace stejné křivky , tj. . Pak .

Parametrizace délkou oblouku[editovat | editovat zdroj]

Jak již bylo řečeno, pro křivku existují různé parametrizace. Speciální parametrizací je parametrizace podle délky oblouku (nebo délky dráhy - obloukem se myslí parametrizace, která měří délku vykonané dráhy), označovaná také jako přirozená parametrizace křivky.

Nechť je rektifikovatelná křivka s parametrizací

a pro její úsek s parametrizací , tak se funkce

nazývá oblouk křivky . Tato funkce spojitě a monotónně roste, pro prosté je dokonce ostře monotónně rostoucí, a proto také bijektivní, takže existuje inverzní funkce . Funkce

se označuje jako parametrizace délkou oblouku.

Je-li spojitě diferencovatelná a pro všechna , zvláštností parametrizace délkou oblouku to, že také je spojitě diferencovatelná a pro každé je

Parametrizaci délkou oblouku tedy můžeme chápat jako tu parametrizaci, při které se daná křivka vykresluje konstantní jednotkovou rychlostí.

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Länge (Mathematik) na německé Wikipedii.

  1. HEUSER, HARRO 1927-2011. Lehrbuch der Analysis Teil 2.. 5., durchges. Aufl. vyd. Wiesbaden: [s.n.] 736 S s. Dostupné online. ISBN 978-3-519-42222-8, ISBN 3-519-42222-0. OCLC 263149494 

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]