První nespočetný ordinál

První nespočetný ordinál, tradičně označovaný ω₁ případně Ω, je v matematice nejmenší ordinální číslo, které je nespočetnou množinou. První nespočetný ordinál je supremum (nejmenší horní závora) všech spočetných ordinálů. Prvky ω₁ jsou spočetné ordinály, kterých je nespočetně mnoho.

Stejně jako jiná ordinální čísla (ve von Neumannově přístupu) je ω₁ dobře uspořádanou množinou, kde relace je prvkem množiny ("∈", též relace náležení) definuje uspořádání. ω₁ je limitní ordinál, což znamená, že neexistuje ordinální číslo α, pro které α + 1 = ω₁.

Kardinalita ω₁ je první nespočetné kardinální číslo, ℵ₁ (alef jedna). Ordinál ω₁ je tedy počátečním ordinálem ℵ₁.

ve většině konstrukcí jsou opravdu ω₁ a ℵ₁ stejné množiny. Zobecnění: pokud α je libovolné ordinální číslo, definujeme ω_α jako počáteční ordinál kardinálního čísla ℵ_α.

Existenci ω₁ lze dokázat bez axiomu výběru (viz Hartogsovo číslo).

Topologické vlastnosti

Použitím ordinální topologie lze libovolné ordinální číslo považovat za topologický prostor. Pokud na ω₁ pohlížíme jako na topologický prostor, obvykle je zapisujeme <0,ω₁) pro zdůraznění, že se jedná o prostor obsahující všechny ordinální čísla menší než ω₁.

Pokud platí axiom spočetného výběru, každá rostoucí ω-posloupnost prvků prostoru <0,ω₁) konverguje k limitě v <0,ω₁). Příčinou je, že sjednocení (= supremum) každé spočetné množiny spočetných ordinálních čísel je také spočetné ordinální číslo.

Topologický prostor <0,ω₁) je sekvenčně kompaktní, ale není kompaktní. V důsledku toho není metrizovatelný; je však spočetně kompaktní a proto není Lindelöfův. V pojmech axiomů spočetnosti je <0,ω₁) první spočetný prostor, ale není ani separabilní ani druhý spočetný prostor.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku First uncountable ordinal na anglické Wikipedii.

Související článku