Univerzální třída

Univerzální třída je matematický pojem z oboru teorie množin označující třídu všech množin.

Označení a formální definice

Univerzální třída se obvykle značí $\mathbb {V} \,\!$ a bývá definována jako $\,\mathbb {V} =\{x:x=x\}$ . S ohledem na to, že $=\,\!$ je reflexivní relace, patří do takto definované třídy všechny množiny.

Vlastnosti univerzální třídy

Univerzální třída $\mathbb {V} \,\!$ obsahuje každou množinu nejen jako svůj prvek, ale zároveň také jako svojí podmnožinu.

Tento závěr vyplývá z faktu, že prvkem množiny může být opět pouze množina, tedy každý prvek každé množiny patří do $\mathbb {V} \,\!$ . Pokud ale každý prvek nějaké množiny patří do $\mathbb {V} \,\!$ , pak je podle definice tato množina podmnožinou $\mathbb {V} \,\!$ .

Univerzální třída $\mathbb {V} \,\!$ není množina (je to tedy vlastní třída).

Pokud by $\mathbb {V} \,\!$ byla množina, pak je podle axiomu potence množinou také její potenční množina $\mathbb {P} (\mathbb {V} )\,\!$ . Podle Cantorovy věty má $\mathbb {P} (\mathbb {V} )\,\!$ větší mohutnost než $\mathbb {V} \,\!$ , ale podle předchozího odstavce je zároveň $\mathbb {P} (\mathbb {V} )\,\!$ podmnožinou $\mathbb {V} \,\!$ , což je sporné tvrzení (podmnožina nemůže mít větší mohutnost, než celá množina).

Univerzální třída $\mathbb {V} \,\!$ není jedinou vlastní třídou – existují i „menší“ vlastní třídy, například třída $\mathbb {O} n\,\!$ všech ordinálních čísel nebo třída $\mathbb {C} n\,\!$ všech kardinálních čísel.

To mimo jiné znamená, že ve vztahu z prvního odstavce $x\in \mathbb {V} \implies x\subseteq \mathbb {V} \,\!$ nelze obrátit implikaci.

Vztah k různým dodatečným předpokladům ZF

Vlastnosti univerzální třídy se mohou značně lišit v závislosti na tom, jaké dodatečné předpoklady přijmeme k axiomatizaci Zermelo-Fraenkelovy teorie množin bez axiomu fundovanosti (tato teorie se obvykle značí $ZF_{-}$ ).

axiom fundovanosti (AF): Pak $\mathbb {V} \,\!$ je rovna fundovanému jádru $\mathbb {WF} \,\!$ (třídě, která vznikne z prázdné množiny iterováním operace potence)
axiom konstruovatelnosti (V=L): Pak $\mathbb {V} \,\!$ je rovna třídě konstruovatelných množin $\mathbb {L} \,\!$ (třídě, která vznikne z prázdné množiny postupným uzavíráním na Gödelovské operace)
axiom silného výběru (AS): Pak existuje bijekce mezi $\mathbb {V} \,\!$ a třídou $\mathbb {O} n\,\!$ všech ordinálních čísel.
axiom silného výběru (AS) + axiom superuniverzality (ASU): Pak existuje netriviální elementární vnoření $\mathbb {V} \,\!$ do $\kappa$ -saturované tranzitivní třídy.

Související články