Unitární grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Unitární grupa je v matematice množina všech unitárních transformací nějakého Hilbertova prostoru spolu s operací skládání. V konečněrozměrném případě se dá reprezentovat jako množina všech unitárních matic dimenze n spolu s násobením matic. Tato grupa se značí U(n).

Podobně se definuje speciální unitární grupa SU(n) jako množina unitárních matic s determinantem rovným jedné.

Vnoření unitárních matic do prostoru všech matic n\times n definuje na unitární matici strukturu reálné hladké variety. Jedná se tedy o reálnou Lieovu grupu.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Unitární grupa je kompaktní a souvislá Lieova grupa (ačkoliv se skládá s komplexních matic, jedná se pouze o reálnou Lieovu grupu). Její dimenze je n^2. Fundamentální grupu má izomorfní \mathbb{Z}. Komplexifikace této grupy je celá obecná lineární grupa GL(n,C).

Jako grupa je U(n) izomorfní SU(n)\times U(1) a U(1) je izomorfní jednotkovým komplexním číslům s operací násobení. Grupa SU(n) je jednoduchá pro n\geq 2 a je také jednoduše souvislá.

Grupa U(1) je izomorfní ortogonální grupě SO(2).

Grupa SU(2) je topologická sféra dimenze 3 a jako grupa je izomorfní jednotkovým kvaternionům. Existuje surjektivní homomorfizmus

SU(2)\to SO(3)

takový, že každý prvek SO(3) má právě dva vzory, které se liší jenom znaménkem.