Unitární grupa
Unitární grupa je v matematice množina všech unitárních transformací nějakého Hilbertova prostoru spolu s operací skládání. V konečněrozměrném případě se dá reprezentovat jako množina všech unitárních matic dimenze n spolu s násobením matic. Tato grupa se značí .
Podobně se definuje speciální unitární grupa SU(n) jako množina unitárních matic s determinantem rovným jedné.
Vnoření unitárních matic do prostoru všech matic definuje na unitární matici strukturu reálné hladké variety. Jedná se tedy o reálnou Lieovu grupu.
Vlastnosti
[editovat | editovat zdroj]Unitární grupa je kompaktní a souvislá Lieova grupa (ačkoliv se skládá z komplexních matic, jedná se pouze o reálnou Lieovu grupu). Její dimenze je . Fundamentální grupu má izomorfní . Komplexifikace této grupy je celá obecná lineární grupa GL(n,C).
Jako grupa je U(n) izomorfní a U(1) je izomorfní jednotkovým komplexním číslům s operací násobení. Grupa SU(n) je jednoduchá pro a je také jednoduše souvislá.
Grupa je izomorfní ortogonální grupě .
Grupa je topologická sféra dimenze 3 a jako grupa je izomorfní jednotkovým kvaternionům. Existuje surjektivní homomorfizmus
takový, že každý prvek SO(3) má právě dva vzory, které se liší jenom znaménkem.