Unitární grupa

Unitární grupa je v matematice množina všech unitárních transformací nějakého Hilbertova prostoru spolu s operací skládání. V konečněrozměrném případě se dá reprezentovat jako množina všech unitárních matic dimenze n spolu s násobením matic. Tato grupa se značí $U(n)$.

Podobně se definuje speciální unitární grupa SU(n) jako množina unitárních matic s determinantem rovným jedné.

Vnoření unitárních matic do prostoru všech matic $n\times n$ definuje na unitární matici strukturu reálné hladké variety. Jedná se tedy o reálnou Lieovu grupu.

Vlastnosti

Unitární grupa je kompaktní a souvislá Lieova grupa (ačkoliv se skládá s komplexních matic, jedná se pouze o reálnou Lieovu grupu). Její dimenze je $n^2$. Fundamentální grupu má izomorfní $\mathbb{Z}$. Komplexifikace této grupy je celá obecná lineární grupa GL(n,C).

Jako grupa je U(n) izomorfní $SU(n)\times U(1)$ a U(1) je izomorfní jednotkovým komplexním číslům s operací násobení. Grupa SU(n) je jednoduchá pro $n\geq 2$ a je také jednoduše souvislá.

Grupa $U(1)$ je izomorfní ortogonální grupě $SO(2)$.

Grupa $SU(2)$ je topologická sféra dimenze 3 a jako grupa je izomorfní jednotkovým kvaternionům. Existuje surjektivní homomorfizmus

$SU(2)\to SO(3)$

takový, že každý prvek SO(3) má právě dva vzory, které se liší jenom znaménkem.