Peanovy axiomy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice jsou Peanovy axiomy axiomy v predikátové logice druhého řádu, které vystihují vlastnosti přirozených čísel. Až na izomorfismus existuje jediný model v němž platí Peanovy axiomy, a to množina přirozených čísel s nulou \mathbb{N}_0. Peanovy axiomy lze zapsat i v logice prvního řádu - teorie určená těmito axiomy se nazývá Peanova aritmetika. Systém axiomů Peanovy aritmetiky je však podstatně slabší než systém Peanových axiomů, neboť například připouští existenci modelů neizomorfních s \mathbb{N}_0. Autorem Peanových axiomů je Giuseppe Peano.

Znění axiomů[editovat | editovat zdroj]

Formální zápis[editovat | editovat zdroj]

V logice druhého řádu lze axiomy formulovat takto (první a třetí axiom slovního zápisu je zde sloučen do jediného (prvního) formálního axiomu, který vyjadřuje jednak existenci nuly a jednak to, že není následníkem žádného čísla):

  • (\exists x) (\forall y)(y' \neq x)
  • (\forall x) (\exists y ) x' = y
  • (\forall x) (\forall y)  (x' = y' \rightarrow x = y)
  • (\forall \varphi) (\varphi(0) \and (\forall x)(\varphi(x)\rightarrow \varphi(x')) \rightarrow (\forall x)\,\varphi(x))

Slovní zápis[editovat | editovat zdroj]

Informativně vyjadřují Peanovy axiomy následující vlastnosti přirozených čísel:

  • existuje číslo, které není následníkem žádného čísla,
  • Ke každému přirozenému číslu n existuje přirozené číslo n', které je jeho následovníkem.
  • Číslo 0 není následovníkem žádného přirozeného čísla.
  • Různá přirozená čísla mají různé následovníky.
  • Pokud pro nějakou vlastnost přirozených čísel platí, že ji má 0 a z toho, že ji má přirozené číslo n plyne, že ji má i jeho následovník n', pak tuto vlastnost již mají všechna přirozená čísla.

Axiom indukce[editovat | editovat zdroj]

Poslední z Peanových axiomů, nazývaný axiom nebo metaaxiom indukce, umožňuje na množinách izomorfních s přirozenými čísly používat matematickou indukci pro libovolnou vlastnost \varphi. Tento axiom lze zapsat následovně: Pokud p je výrok závisející na n, tak:

\exists n' \in \mathbb{N}\ (p(n') \wedge (\forall n \in \langle n', +\infty) \cap \mathbb{N}\ (p(n) \implies p(n+1))) \implies \forall m \in \langle n',+\infty) \cap \mathbb{N}\ p(m).

Pokud je možné najít n' pro které platí výrok p a pokud pro výrok p platí pro n větší n', tak platí pro n+1, potom výrok p platí pro každé m větší n'.

Definice operací a uspořádání na přirozených číslech[editovat | editovat zdroj]

Na množině splňující Peanovy axiomy lze definovat operace sčítání a násobení a relaci uspořádání takto:

  • Součet \,a+b definujeme indukcí podle druhého sčítance: \,a+0=a,\; a+b'=(a+b)'
.
  • Součin a\cdot b definujeme indukcí podle druhého činitele: a\cdot 0=0,\; a\cdot b'= a \cdot b +a.
  • Relaci a\leq b definujeme formulí a\leq b \leftrightarrow (\exists c)(a+c=b).

Přirozená čísla bez nuly[editovat | editovat zdroj]

Takto zapsanými axiomy je sestrojena množina přirozených čísel začínající nulou. Pokud tato množina nulu obsahovat nemá, lze v těchto axiomech nahradit symbol 0 symbolem 1, pro množinu samotnou se tím nic nezmění.

Související články[editovat | editovat zdroj]