Presburgerova aritmetika

Presburgerova aritmetika je jeden z axiomatických systémů formální teorie aritmetiky. Je podstatně slabší než Peanova aritmetika, zejména proto, že v jazyce neobsahuje symbol pro násobení. Pojmenována je po polském matematikovi Mojżeszi Presburgerovi, který tuto axiomatiku publikoval v roce 1929.

Axiomy

Presburgerova aritmetika je teorie v jazyce L obsahujícím konstantní symbol 0, unární funkční symbol S a binární funkční symbol +. Axiomy jsou následující:

• (PR1) $\,0\neq S(x)$
• (PR2) $\,S(x)=S(y)\rightarrow x=y$
• (PR3) $\,x+0=x$
• (PR4) $\,x+S(y)=S(x+y)$
• (schéma indukce) $\varphi(0) \wedge (\forall x)(\varphi(x)\rightarrow\varphi (S(x)))\rightarrow (\forall x)(\varphi(x))$ pro všechny formule $\varphi$ jazyka L

Vlastnosti

• Presburgerova aritmetika je bezesporná, úplná a rozhodnutelná teorie
• Každá formule jazyka L je v Presburgerově aritmetice ekvivalentní nějaké formuli, která je jednoho ze tří tvarů $t=s,\; (\exists z)(t+z=s),\;(\exists z)(t=s+mz)$, kde t,s jsou termy a m numerál (tj. term vzniklý m-násobnou aplikací funkčního symbolu S na konstantní symbol 0).

Související články

• Robinsonova aritmetika
• Peanova aritmetika