Presburgerova aritmetika

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Presburgerova aritmetika je jeden z axiomatických systémů formální teorie aritmetiky. Je podstatně slabší než Peanova aritmetika, zejména proto, že v jazyce neobsahuje symbol pro násobení. Pojmenována je po polském matematikovi Mojżeszi Presburgerovi, který tuto axiomatiku publikoval v roce 1929.

Axiomy[editovat | editovat zdroj]

Presburgerova aritmetika je teorie v jazyce L obsahujícím konstantní symbol 0, unární funkční symbol S a binární funkční symbol +. Axiomy jsou následující:

  • (PR1) \,0\neq S(x)
  • (PR2) \,S(x)=S(y)\rightarrow x=y
  • (PR3) \,x+0=x
  • (PR4) \,x+S(y)=S(x+y)
  • (schéma indukce) \varphi(0) \wedge (\forall x)(\varphi(x)\rightarrow\varphi (S(x)))\rightarrow (\forall x)(\varphi(x)) pro všechny formule \varphi jazyka L

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Presburgerova aritmetika je bezesporná, úplná a rozhodnutelná teorie
  • Každá formule jazyka L je v Presburgerově aritmetice ekvivalentní nějaké formuli, která je jednoho ze tří tvarů t=s,\; (\exists z)(t+z=s),\;(\exists z)(t=s+mz), kde t,s jsou termy a m numerál (tj. term vzniklý m-násobnou aplikací funkčního symbolu S na konstantní symbol 0).

Související články[editovat | editovat zdroj]