Imaginární jednotka

Jako imaginární jednotka se v matematice označuje číslo značené i (někdy též j), které rozšiřuje obor reálných čísel $\mathbb {R}$ na obor čísel komplexních $\mathbb {C}$. Po tomto rozšíření existuje řešení libovolné polynomiální rovnice f(x) = 0.

V reálných číslech některé takové rovnice řešení nemají, konkrétně např. rovnice x² + 1 = 0. Pokud je k množině reálných čísel přidán nový prvek i, který tuto rovnici řeší, algebraickým uzávěrem takto vzniklé množiny je právě množina komplexních čísel, ve kterých má řešení už každá polynomiální rovnice.

V oboru elektrotechniky je často imaginární jednotka označována jako j místo i, protože i se běžně používá pro označení okamžité hodnoty elektrického proudu.

Definice

Podle definice imaginární jednotka i je řešením rovnice

x² = −1

Operace s reálnými čísly lze rozšířit na imaginární a komplexní čísla tak, že při manipulaci s výrazem zacházíme s i jako s neznámou veličinou a použijeme tuto definici k tomu, abychom nahradili všechny výskyty i² číslem −1.

i a −i

Výše uvedená rovnice má ve skutečnosti dvě různá řešení která jsou aditivně inverzní. Přesněji, pokud řekneme, že řešením rovnice je i, je také řešením této rovnice −i (≠ i). Protože výše uvedená rovnice je jedinou definicí i, je zřejmé, že tato definice je nejednoznačná. Tuto nejednoznačnost odstraníme tak, že vybereme a zafixujeme jako řešení výše uvedené rovnice „pozitivní i“.

Upozornění

Imaginární jednotka se někdy zapisuje jako ${\sqrt {-1}}$, ale je třeba dát pozor při manipulaci s těmito odmocninami. Při aplikaci pravidel platících pro odmocniny z kladných reálných čísel na celý obor reálných čísel můžeme dostat špatný výsledek :

$-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$

Kalkulační pravidlo

${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}$

je v oboru reálných čísel platné, pokud a ≥ 0 nebo b ≥ 0. Nemůžeme ho tedy použít, pokud jsou obě čísla záporná. Můžeme ho však použít pro výpočet odmocniny ze záporného čísla, např. druhou odmocninu z čísla -4 vypočteme jako:

${\sqrt {-4}}={\sqrt {4\cdot (-1)}}={\sqrt {4}}\cdot {\sqrt {-1}}=2i$

Abychom se vyhnuli chybám při manipulaci s komplexními čísly, je lépe nepoužívat záporná čísla pod odmocninou.

Mocniny i

Mocniny i se cyklicky opakují:

$i^{0}=1$

$i^{1}=i$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-i$

$i^{4}=1$

$i^{5}=i$

$i^{6}=-1$

To lze vyjádřit matematickým vzorcem, kde n je libovolné celé číslo:

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i$

i a Eulerův vzorec

Vezmeme Eulerův vzorec $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, a po dosazení $\pi /2$ za $x$, dostaneme

$e^{i\pi /2}=i$

Jestliže obě strany umocníme na i, a využijeme $i^{2}=-1$, získáme následující rovnost:

$i^{i}=e^{-\pi /2}=0{,}2078795763\dots$

Ve skutečnosti je snadné určit, že $i^{i}$ má nekonečný počet řešení ve tvaru

$i^{i}=e^{-\pi /2+2\pi N}$

Z výše uvedené identity

$e^{i\pi /2}=i$

lze odvodit Eulerovu identitu

$e^{i\pi }+1=0$,

V Gaussově rovině imaginární jednotku představuje číslo [0;1].

Každé komplexní číslo lze zapsat (v tzv. algebraickém tvaru) ve tvaru a + ib, kde a a b jsou reálná čísla

Odkazy

Související články

• Komplexní číslo
• Komplexní jednotka
• Hyperkomplexní číslo

Externí odkazy

• Imaginární jednotka v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Portály: Matematika