Definiční obor

Funkce $\scriptstyle f$ zobrazuje množinu $\scriptstyle X$ do množiny $\scriptstyle Y$. V tomto případě je $\scriptstyle f$ definována na celé množině $\scriptstyle X$. V obecnějším případě se však může stát, že ne pro všechny prvky z množiny $\scriptstyle X$ existuje jejich vzor při zobrazení $\scriptstyle f$.

Definiční obor funkce $\scriptstyle f$ je množina všech hodnot, pro které je funkce $\scriptstyle f$ definována. Definiční obor můžeme definovat pro jakékoli množinové zobrazení. Nechť $\scriptstyle T:X\to Y$ je zobrazení z množiny $\scriptstyle X$ do množiny $\scriptstyle Y$. Pak definiční obor zobrazení $\scriptstyle T$ tvoří právě ty prvky množiny $\scriptstyle X$, pro něž je definován obraz při zobrazení $\scriptstyle T$. Obecně nemusí být zobrazení $\scriptstyle T$ definováno na celé množině $\scriptstyle X$. V tom případě tvoří jeho definiční obor vlastní podmnožinu množiny $\scriptstyle X$. Občas se kromě názvu definiční obor používá také označení doména. Definiční obor zobrazení $\scriptstyle T$ se značí většinou $\scriptstyle D_{T}$, $\scriptstyle D(T)$ či $\scriptstyle {\text{Dom}}(T)$. Posledně uvedený symbol pak vychází z anglického názvu pro definiční obor (domain) a je běžně používán v cizojazyčné literatuře. V matematické notaci lze definiční obor pro zobrazení $\scriptstyle T:X\to Y$ zapsat jako

$D_{T}=\{x\in X|(\exists y\in Y)(T(x)=y)\}.$

Příklad

• Funkce $\scriptstyle f(x)=1/x$ na množině reálných čísel $\scriptstyle \mathbb {R}$ není definována pro $\scriptstyle x=0$. Její definiční obor je tedy množina $\scriptstyle \mathbb {R} \setminus \{0\}$.
• Mezi další oblíbené příklady patří funkce složené z funkce tangens, která je definována pro všechna reálná čísla kromě lichých násobků čísla $\scriptstyle \pi /2$.
• Definiční obor ale nemusí tvořit jen čísla. Uvažujme například operátor derivace, který vezme funkci a vrátí její derivaci, tj. opět nějakou funkci. Neboli

${\text{Der}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}},$

kde jsme jako $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ označili množinu reálných funkcí reálné proměnné, tj. funkcí $\scriptstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. V tomto případě tedy tvoří definiční obor operátoru derivace $\scriptstyle {\text{Der}}$ ty funkce z $\scriptstyle {\mathcal {C}}$, pro něž existuje jejich derivace. Tento příklad ukazuje zobrazení, které není definováno na celé „vstupní“ množině, protože ne všechny funkce mají derivaci.

Názvosloví

Mějme zobrazení $\scriptstyle T:X\to Y$. V závislosti na tom, zda je zobrazení $\scriptstyle T$ definováno pro všechny prvky $\scriptstyle X$ nebo ne, rozlišujeme následující pojmy:

• Pokud je zobrazení $\scriptstyle T$ definováno pro všechny prvky, tak říkáme, že zobrazuje množinu $\scriptstyle X$ do množiny $\scriptstyle Y$.
• Pokud naopak existuje prvek $\scriptstyle x$ z množiny $\scriptstyle X$, pro něž není zobrazení $\scriptstyle T$ definováno, pak říkáme, že zobrazení $\scriptstyle T$ zobrazuje z množiny $\scriptstyle X$ do množiny $\scriptstyle Y$. Občas se pro tento případ užívá značení, kdy je vstupní množina, tj. $\scriptstyle X$, uvedena v závorce. Neboli

$T:(X)\to Y.$

Obvykle se ale za množinu $\scriptstyle X$ bere právě definiční obor zobrazení $\scriptstyle T$ a výše uvedenou konvenci se závorkou není třeba užívat.

Uvažujme nyní topologický prostor $\scriptstyle X$ a na něm definované zobrazení $\scriptstyle T$, které zobrazuje do nějaké množiny $\scriptstyle Y$. O zobrazení $\scriptstyle T$ řekneme, že je hustě definované, právě když je jeho definiční obor hustou podmnožinou topologického prostoru $\scriptstyle X$. Neboli

${\overline {(D_{T})}}=X,$

kde pruh nad množinou značí uzávěr této množiny.

Omezení definičního oboru

Každou funkci (resp. obecněji zobrazení) je možno omezit na libovolnou podmnožinu jejího definičního oboru. Tedy máme-li funkci $\scriptstyle f:X\to Y$ a platí-li $\scriptstyle A\subseteq X$, můžeme omezit funkci $\scriptstyle f$ na množinu $\scriptstyle A$ , což značíme

$f|_{A}:A\rightarrow Y.$

Takto upravená funkce pak působí na prvky z množiny $\scriptstyle A$ stejným způsobem jako předtím na všechny prvky z množiny $\scriptstyle X$. Jediným rozdílem je, že už má smysl hovořit o jejích hodnotách jen na prvcích z množiny $\scriptstyle A$. Pro funkci $\scriptstyle f$ se $\scriptstyle f_{A}$ nazývá zúžení $\scriptstyle f$ na množinu $\scriptstyle A$. Místo slova zúžení lze použít i cizí slovo restrikce.

Související články

• Obor hodnot

Portály: Matematika