Cauchyho rozdělení

Cauchyho rozdělení, nazývané též Cauchy-Lorentzovo rozdělení po Augustinu Cauchyovi a Hendriku Lorentzovi, je spojité pravděpodobnostní rozdělení. Jako rozdělení pravděpodobnosti je známo jako Cauchyho rozdělení, zatímco většina fyziků ho zná jako Lorentzovo rozdělení, Lorentzova funkce nebo Breit-Wignerovo rozdělení. Má význam ve fyzice, protože je řešením diferenciální rovnice popisující silnou rezonanci. Ve spektroskopii popisuje rozložení spektrálních čar.

Charakteristika

Hustota pravděpodobnosti

Cauchyho rozdělení. Na obrázku je parametr λ nazván γ

Cauchyho rozdělení pravděpodobnosti s parametry a a λ, pro $-\infty<a<\infty$ a $\lambda>0$, je definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru

$\begin{align} f(x; a,\lambda) &= \frac{1}{\pi\lambda \left[1 + \left(\frac{x-a}{\lambda}\right)^2\right]} \\[0.5em] &= { 1 \over \pi } \left[ {\lambda \over (x - a)^2 + \lambda^2 } \right] \end{align}$

kde a = x₀ je parametr, určující umístění největší hodnoty rozdělení.

Zvláštní případ, kdy a = x₀ = 0 a λ = 1 se nazývá standardní Cauchyho rozdělení s hustotou pravděpodobnosti vyjádřenou vztahem

$f(x; 0,1) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}. \!$

Vlastnosti

Cauchyho rozdělení je příkladem rozdělení, které nemá střední hodnotu ani rozptyl. Jeho modus a medián se oba rovnají a = x₀.

Pokud U a V jsou dvě nezávislé normálně rozdělené náhodné veličiny se střední hodnotou 0 a rozptylem 1, potom zlomek U/V má standardní Cauchyho rozdělení.

Pokud X₁, …, X_n jsou nezávisle a stejně rozdělené náhodné veličiny, každá se standardním Cauchyovým rozdělením, pak aritmetický průměr (X₁ + … + X_n)/n má stejné Cauchyho rozdělení.

Charakteristická funkce

Nechť X značí náhodnou proměnnou (náhodný vektor), která splňuje Cauchyho rozdělení. Charakteristická funkce Cauchyho rozdělení je pak definována:

$\phi_x(t; a,\gamma) = \mathrm{E}(e^{i\,X\,t}) = \exp(i\,a\,t-\gamma\,|t|)\!$, kde a = x₀ je místní parametr.

Související rozdělení

• Standardní Cauchyho (0,1) rozdělení vzniká jako speciální případ Studentova rozdělení s jedním stupněm volnosti.

Relativistické Breit-Wignerovo rozdělení

V jaderné fyzice a částicové fyzice, je energetický profil rezonance popsán relativistickým Breit-Wignerovým rozdělením.

Související články

• Normální rozdělení
• Studentovo rozdělení
• Augustin Louis Cauchy

Zdroje

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cauchy distribution na anglické Wikipedii.

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky II.. Prometheus, Praha, 2003, 6. přepracované vydání. ISBN 80-85849-62-3

Externí odkazy

anglicky

• Cauchyho rozdělení na MathWorldu.
• GNU Scientific Library - Reference Manual