Studentovo rozdělení

Studentovo rozdělení (t rozdělení) je rozdělení pravděpodobnosti, které je často využíváno ve statistice.

Rozdělení pravděpodobnosti

Studentovo rozdělení o $n$ stupních volnosti, které označujeme $t(n)$, je rozdělení náhodné veličiny $X = \frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n}}}$, kde $U$ a $V$ jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny, přičemž $U$ má rozdělení $\operatorname{N}(0,1)$ a $V$ má rozdělení $\chi^2(n)$.

Rozdělení $t(n)$ má pro $-\infty<x<\infty$ a $n=1,2,3,...$ hustotu pravděpodobnosti

$f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\sqrt{\pi n}} {\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}$

kde $\Gamma$ je gama funkce (zobecnění faktoriálu pro reálná čísla).

Charakteristiky rozdělení

Střední hodnota rozdělení $t(n)$ je

$\operatorname{E}(X)=0$

pro $n>1$.

Rozdělení $t(n)$ má rozptyl

$\sigma^2(X) = \frac{n}{n-2}$

pro $n>2$.

Tabulka některých kvantilů pro některé počty stupňů volnosti:

stupňů volnosti	q0,95	q0,975	q0,99	q0,995
1	6,31	12,71	31,82	63,66
2	2,92	4,30	6,97	9,93
3	2,35	3,18	4,54	5,84
4	2,13	2,78	3,75	4,60
5	2,02	2,57	3,37	4,03
6	2,0
7 až 9	1,9
10	1,81	2,23	2,76	3,17
15	1,75	2,13	2,60	2,95
20	1,73	2,09	2,53	2,85
30	1,70	2,04	2,46	2,75
50	1,68	2,01	2,40	2,68
N velké (>100)	1,65	1,96	2,33	2,58

Poznámka: protože T rozdělení je symetrické, pro kvantily platí, že $q_p = -q_{(1-p)}$

Poznámka: uvedené kvantily odpovídají kritickým hodnotám pro některé hladiny významnosti (používané například v T testu), a to
95% kvantil - 10% hladina významnosti
97,5% kvantil - 5% hladina významnosti
99% kvantil - 2% hladina významnosti
99,5% kvantil - 1% hladina významnosti

Vlastnosti

Pro hodnoty $n>30$ je rozdělení $t$ velmi blízké normovanému normálnímu rozdělení.

Související články

• Normální rozdělení
• Rozdělení pravděpodobnosti