Cantorovo diskontinuum

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Cantorovo diskontinuum je matematický pojem označující jistou množinu bodů na přímce. Tato množina má některé velmi zvláštní vlastnosti. Cantorovo diskontinuum bývá také často považováno za fraktál.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Intuitivně lze Cantorovo diskontinuum definovat takto: Mějme dán uzavřený interval [0,1]. Odebereme-li z něj jeho prostřední třetinu (bez krajních bodů), získáme tím dva nové uzavřené intervaly třetinové délky. Pokud z obou těchto intervalů opět odebereme jejich prostřední třetiny, získáme celkem čtyři nové intervaly devítinové délky. Budeme-li takto pokračovat dál, tj. budeme-li odebírat v každém kroku vždy prostřední třetiny všech vzniklých intervalů, a provedeme-li těchto kroků nekonečně mnoho, získáme množinu bodů, které zůstanou neodebrány. Tuto množinu nazveme Cantorovo diskontinuum.

Sedmá iterace Cantorova diskontinua

Mnohem kratší, ale zato méně intuitivní definice je tato: Cantorovo diskontinuum je množina všech bodů v intervalu [0,1], v jejichž trojkovém rozvoji se nevyskytuje číslice 1 (přesněji v alespoň jednom z (nejvýše dvou možných) trojkových rozvojů).

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Cantorovo diskontinuum:

Zobecnění do více rozměrů[editovat | editovat zdroj]

Jako zobecnění Cantorova diskontinua lze konstruovat obdobně (tj. rovnoměrným rozdělením každé celistvé části útvaru a odebráním středové oblasti v nekonečně iteračních krocích) i další fraktální útvary v rovině a v prostoru, např:

Konstrukce Cantorova prachu v rovině... ...a v prostoru

Konstrukce Sierpinského trojúhelníka... ...a Sierpinského koberce

Konstrukce Sierpinského čtyřstěnu,... ...pyramidy (červeně)... ...a Mengerovy houby

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]