Čtvercové číslo

V teorii čísel se pojmem čtverec, případně čtvercové číslo, rozumí takové celé číslo, které jde napsat jako druhá mocnina nějakého celého čísla. Tedy například 9 je čtvercové číslo, protože může být zapsáno jako 3×3. Jiný způsob, jak definovat čtverce, je označit za čtverec každé číslo, jehož odmocnina je celé číslo.

Kladné celé číslo, které není dělitelné žádným čtvercem kromě 1, se nazývá bezčtvercové celé číslo.

Příklady

Nejmenších padesát čtverců jsou tato čísla:

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

Vlastnosti

Rozdíl mezi čtvercovým číslem a nejbližším menším čtvercem je patrný z tohoto vzorce:

$n^2 = (n - 1)^2 + (2n - 1).\$

Číslo m je čtvercové právě tehdy, pokud lze z m bodů sestavit čtverec.

Obě tyto vlastnosti lze vidět z následujících ilustračních obrázků:

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25

Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích říká, že každé kladné celé číslo lze zapsat jako součet čtyř nebo méně čtverců (tři čtverce už nestačí pro čísla tvaru 4^k(8m+7).

Externí odkazy

• pod označením A000290 je posloupnost čtvercových čísel v On-line encyklopedii celočíselných posloupností

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Square number na anglické Wikipedii.