Šestiúhelníkové číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Šestiúhelníková čísla jsou figurální čísla odpovídající šestiúhelníku. Nté šestiúhelníkové číslo je počet stejně velkých „bodů“, ze kterých lze sestavit pravidelný šestiúhelník:

První čtyři šestiúhelníková čísla

Vzorec pro nté šestiúhelníkové číslo je:

h_n= 2n^2-n = n(2n-1) = {{2n}\times{(2n-1)}\over 2}.\,\!.

Několik prvních šestiúhelníkových čísel:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946 (Posloupnost A000384 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).

Každé šestiúhelníkové číslo je zároveň trojúhelníkové číslo, ale jenom každé druhé (1., 3., 5., 7., atd.) trojúhelníkové číslo je šestiúhelníkové. Stejně jako u trojúhelníkových čísel, může být ciferace každého 6úhelníkového čísla pouze 1, 3, 6 nebo 9, jejich pořadí je „1 6 6 1 9 3 1 3 9“.

Všechna sudá dokonalá čísla jsou šestiúhelníková dána vzorcem:

M_p 2^{p-1} = M_p (M_p + 1)/2 = h_{(M_p+1)/2}=h_{2^{p-1}},

kde Mp je Mersennovo prvočíslo, např. druhé 6úhelníkové číslo je 2x3=6, čtvrté je 4x7=28, šestnácté je 16x31=496 a 64té je 4x127=8 128. Nejsou známa žádná lichá dokonalá čísla, a tak jsou všechna známá dokonalá čísla 6úhelníková.

Největší přirozené číslo, které nelze zapsat jako součet nejvýše čtyř 6úhelníkových čísel, je 130. Adrien-Marie Legendre v roce 1830 dokázal, že se takto dají vyjádřit všechna přirozená čísla větší než 1 791.

Test šestiúhelníkovosti čísel[editovat | editovat zdroj]

Zda je přirozené číslo x 6úhelníkové, lze snadno zjistit vypočítáním hodnoty následujícího výrazu:

n = \frac{\sqrt{8x+1}+1}{4}..

Pokud je n celé číslo, x je 6úhelníkové číslo, jinak x 6úhelníkovým číslem není.

Ostatní vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Nté číslo šestiúhelníkové posloupnosti se dá vyjádřit jako:

 h_n = \sum_{i=0}^{n-1}{(4i+1)} .

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Hexagonal number na anglické Wikipedii.