Prvočíslo

Prvočíslo je přirozené číslo větší než 1, které je beze zbytku dělitelné jen dvěma děliteli: jedničkou a samo sebou. Jednička není prvočíslo, neboť nemá dva různé dělitele. Přirozená čísla větší než jedna, která nejsou prvočísly, se nazývají složená čísla. Prvním prvočíslem je číslo 2, které je jediným sudým prvočíslem.

Formální definice

Číslo $n\in \mathbb {N}$ je prvočíslem právě když platí: $n>1\land \forall k\in \mathbb {N} :\left(k|n\implies (k=1\lor k=n)\right)$ nebo ekvivalentně $\left|\{k:k\in \mathbb {N} ,k|n\}\right|=2$ .

Příklad

Číslo 13 má při dělení dvěma zbytek 1, při dělení třemi zbytek 1, při dělení pěti zbytek 3 atd. Říkáme, že je těmito čísly nedělitelné. Pouze při dělení 1 a 13 je zbytek 0 (dělitelné). Proto je 13 prvočíslo.

Číslo 24 je dělitelné čísly 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Není proto prvočíslem, ale složeným číslem.

Prvočíselnost jedničky

Jak říká základní věta aritmetiky, každé přirozené číslo je možno rozložit na právě jeden prvočíselný součin (např. 12 = 2×2×3). Pokud by byla jednička zahrnuta do množiny prvočísel, bylo by takových rozkladů vždy nekonečně mnoho (12 = 2×2×3 = 1×2×2×3 = 1×1×2×2×3 = …). Proto se jednička za prvočíslo nepovažuje, přestože podmínku dělitelnosti pouze sebou samým a jedničkou splňuje. V rámci obecnějších teorií jsou prvočísla takzvanými prvočiniteli, zatímco jednička patří mezi takzvané jednotky.

Vlastnosti

Pokud je $p$ prvočíslo a $p$ dělí součin čísel $a$ a $b$ , pak $p$ dělí $a$ nebo $p$ dělí $b$ .
Každé složené číslo lze jednoznačně vyjádřit jako součin prvočísel. Proces rozkladu čísla na jeho prvočíselné činitele (prvočinitele) se nazývá faktorizace. Např. $24=2^{3}\cdot 3$ .
Okruh $\mathbb {Z} /n{\mathbb {Z} }$ (viz množina zbytkových tříd) je těleso, právě když $n$ je prvočíslo. Jinak vyjádřeno: $n$ je prvočíslo, právě když $\varphi (n)=n-1$ , kde $\varphi (n)$ je počet invertovatelných prvků v $\mathbb {Z} /n{\mathbb {Z} }$ .
Pokud $p$ je prvočíslo a $0<a<p$ je celé číslo, pak $a^{p}-a$ je dělitelné $p$ . (Malá Fermatova věta)
Pokud $n$ je kladné celé číslo větší než jedna, existuje prvočíslo $p$ tak, že $n<p<2n$ . (Bertrandův postulát)
Číslo $p$ větší než jedna je prvočíslo, právě když $(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}$ . (Wilsonova věta)
Pokud $G$ je konečná grupa a $p^{n}$ je nejvyšší mocnina prvočísla $p$ , která dělí řád grupy $G$ , má grupa $G$ podgrupu řádu $p^{n}$ .
Pokud $p$ je prvočíslo a $G$ je grupa s $p^{n}$ prvky, obsahuje $G$ prvek řádu $p$ .
Prvočísel je nekonečně mnoho. (Viz níže.)
Suma převrácených hodnot prvočísel diverguje.
Hustota prvočísel je asymptoticky $1/\ln(n)$ , kde $\ln(n)$ je přirozený logaritmus n. Přesněji, $\pi (n)\simeq n/\ln(n)$ , kde prvočíselná funkce $\pi (n)$ vyjadřuje počet prvočísel menších než $n$ .
Největší dnes (říjen 2024) známé prvočíslo je 2^136279841 − 1, má 41 024 320 dekadických cifer.^[1]

Zkoumáním vlastností prvočísel se zabývá teorie čísel. Zobecněním prvočísel jsou v abstraktní algebře prvočinitelé.

Výskyt prvočísel

Prvočísel je nekonečně mnoho. (Důkaz sporem: Nechť existuje jen konečně mnoho prvočísel. Označme je $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ . Potom číslo $x=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}+1$ není dělitelné žádným z těchto prvočísel, jelikož při dělení dostaneme vždy zbytek 1. Tím pádem číslo $x$ musí být buď prvočíslo, nebo musí být dělitelné nějakým jiným prvočíslem. To ale znamená, že množina prvočísel z počátku důkazu nebyla úplná, což je spor s předpokladem. Tento důkaz předvedl Eukleidés.)

Podle Bertrandova postulátu lze nalézt vždy alespoň jedno prvočíslo mezi čísly $n$ a $2n$ pro $n>1$ . Ve skutečnosti jich však existuje pro vyšší $n$ daleko více. (I z této věty lze dovodit, že prvočísel je nekonečně mnoho.)

Naproti tomu lze nalézt libovolně dlouhé intervaly přirozených čísel, kde se nevyskytuje žádné prvočíslo. Například interval $(k+1)!+2,(k+1)!+3,\ldots ,(k+1)!+k+1$ obsahuje $k$ složených čísel. Tato čísla jsou totiž po řadě dělitelná dvěma, třemi, …, $k+1$ .

Mnoho hypotéz o rozložení prvočísel je dodnes nevyřešených. Jeden otevřený problém je tzv. Riemannova hypotéza, která souvisí s pravidelností rozložení prvočísel a za jejíž důkaz je vypsána odměna milion dolarů.

Speciální prvočísla

Některá prvočísla lze vyjádřit v některé z několika matematicky zajímavých podob. Patří sem například:

Fermatova čísla: Prvočísly je prvních pět čísel ve formě $2^{(2^{n})}+1$ .
Mersennova prvočísla: Prvočíslo ve formě $2^{p}-1$ , kde $p$ je jiné prvočíslo. Mersennovými prvočísly je mnoho z největších známých prvočísel.
Některá prvočísla lze vyjádřit ve formě $1+2\cdot 6^{n}$ .^[2]

Využití

Velký praktický význam mají prvočísla v kryptografii, například v šifrovacích systémech jako je RSA.

Pro vytvoření seznamu prvočísel existují různé algoritmy, např. Eratosthenovo síto.

Testování prvočíselnosti

Otestovat, zda je číslo prvočíslem, tedy testovat prvočíselnost je možné asymptoticky v polynomiálním čase algoritmem AKS, nalezeným roku 2002. Asymptoticky rekordní rychlost ovšem neznamená, že se jedná o algoritmus prakticky nejvýhodnější. V praxi bývá častější použití některého z pravděpodobnostních algoritmů, například Millerova-Rabinova algoritmu.

Testování prvočíselnosti pomocí algoritmu využívajícího vlastností eliptických křivek (ECPP) je nejrychlejší známý algoritmus.^[3]

Příklad testovacího algoritmu

Následující jednoduchý algoritmus implementovaný v jazyce C++ zkouší dělit vstup všemi menšími čísly od 2 do jeho odmocniny - pokud nalezne v tomto intervalu dělitele zadaného čísla, je jasné, že zadané číslo není prvočíslo. Testovat stačí pouze do odmocniny, protože pokud n je složené číslo, můžeme psát: $n=a\cdot {}b$ pro $a,b\in \mathbb {N} ,a,b>1$ . Pokud by nestačilo testovat do odmocniny, znamenalo by to, že $a>{\sqrt {n}}$ a současně $b>{\sqrt {n}}$ , vynásobíme-li ale tyto dva vztahy, máme $a\cdot {}b>n$ , což je spor.

public static bool IsPrvocislo(int num)
{
    if (num == 1)
        return false;
        
    int odmocnina = (int) floor(sqrt(num));
    
    for (int i = 2; i <= odmocnina; i++)
    {
        if (num % i == 0)
            return false;
    }

    return true;
}

Prvočísla menší než 1000

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

Největší známé prvočíslo

Největší známé prvočíslo je 2^136279841 − 1. Jedná se o číslo, které má 41 024 320 číslic v desítkové soustavě. Je to 52. známé Mersennovo prvočíslo, označované jako M_136279841. Číslo bylo objeveno v rámci projektu GIMPS v říjnu 2024.^[1]

Odkazy

Reference

↑ ^a ^b Largest Known Prime Number: 2^136,279,841-1. www.mersenne.org [online]. [cit. 2024-10-21]. Dostupné online. (anglicky)
↑ A205776: Primes of the form 2*6^n+1. OEIS
↑ The prime pages, primes.utm.edu (anglicky)

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu prvočíslo na Wikimedia Commons
Slovníkové heslo prvočíslo ve Wikislovníku
Výukový kurs Prvočísla ve Wikiverzitě
(anglicky) The Primes Pages – přehledové i aktuální informace o výzkumu prvočísel
(anglicky) www.prime-numbers.org – seznam prvočísel do 10 miliard
(anglicky) Prvočísla do jednoho bilionu

[GIMPS-M136279841-1] Largest Known Prime Number: 2^136,279,841-1. www.mersenne.org [online]. [cit. 2024-10-21]. Dostupné online. (anglicky)

[2] A205776: Primes of the form 2*6^n+1. OEIS

[3] The prime pages, primes.utm.edu (anglicky)

[1]

[2]

[3]