Prvočinitel

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V oboru abstraktní algebry je prvočinitel takový prvek komutativního okruhu , který není ani nulou ani jednotkou a který pro všechna splňuje podmínku, že pokud dělí součin , pak dělí nebo dělí .

Jedná se o zobecnění prvočísel. V případě celých čísel jsou prvočinitely právě prvočísla a čísla k nim asociovaná, tedy prvočísla vynásobená , tedy čísla .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Je-li prvek prvočinitelem, je prvočinitelem i prvek pro libovolnou jednotku
  • V libovolném oboru integrity platí, že prvočinitel je vždy ireducibilním prvkem, ale opačně to obecně neplatí (příklad níže). V Gaussových oborech, kde platí analogie Základní věty aritmetiky, také platí, že každý ireducibilní prvek je prvočinitelem.
  • Prvek , který není jednotkou, je prvočinitelem právě tehdy, když je jím generovaný hlavní ideál nenulovým prvoideálem

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • například čísla a (a mnohá jiná) v oboru celých čísel
  • například prvek (a mnohé jiné) v oboru Gaussových celých čísel
  • například mnohočlen (a mnohé jiné) v polynomiálním okruhu všech mnohočlenů s koeficienty z okruhu celých čísel
  • v oboru integrity , jehož prvky jsou čísla tvaru pro , je sice číslo 2 ireducibilním prvkem, ale přestože dělí číslo 6, nedělí ani jeden z činitelů , tedy se nejedná o prvočinitele.
  • protože všechny prvky těles jsou buď nulou nebo jednotkami, neobsahují tělesa žádné prvočinitele

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Primelement na německé Wikipedii.