Bertrandův postulát

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Bertrandův postulát je věta v teorii čísel, která říká, že pro každé celé číslo existuje alespoň jedno prvočíslo , pro které platí:

Slabší formulace říká, že pro každé existuje alespoň jedno prvočíslo takové, že

Další možná formulace říká, že pro platí

[1]

kde je -té prvočíslo.

Toto tvrzení jako první vyslovil v roce 1845 Joseph Bertrand [2] (1822-1900). Bertrand sám ověřil platnost tohoto tvrzení pro všechna čísla v intervalu [2, 3 × 106]. Jeho tvrzení zcela dokázal Čebyšev (1821–1894) v roce 1852,[3] a proto se postulát také někdy nazývá Bertrandův-Čebyševův teorém nebo Čebyševův teorém. Čebyševův teorém může být také vyjádřen pomocí , kde je prvočíselná funkce (počet prvočísel menších nebo rovných ), jako:

.

Prvočíselná věta[editovat | editovat zdroj]

Prvočíselná věta (PNT) říká, že pokud počet prvočísel menších nebo rovných je přibližně , potom dosadíme-li za hodnotu , pak počet prvočísel menších nebo rovných je asymptoticky stejný s dvojnásobkem počtu prvočísel menších nebo rovných (výrazy a jsou asymptoticky ekvivalentní). Proto pro velká je počet prvočísel mezi a roven přibližně , a tedy se v tomto intervalu nachází mnohem více prvočísel, než zaručuje Bertrandův Postulát. Bertrandův postulát je tedy v porovnání s PNT slabší. Ale PNT je hluboká věta, zatímco Bertrandův postulát se lépe pamatuje a snadněji se dokazuje, a také přesně popisuje chování pro malé hodnoty . (Navíc Chebyshevův teorém byl dokázán před PNT, takže má historický důvod.)

Podobná a dosud nevyřešená Legendreova domněnka se ptá, jestli pro každé existuje prvočíslo takové, že platí . Opět předpokládáme, že mezi a se bude nacházet mnoho prvočísel, nicméně v tomto případě PNT nepomůže: počet prvočísel menších nebo rovných je asymptoticky stejný s , zatímco počet prvočísel menších nebo rovných je asymptoticky stejný s , což je asymptoticky shodné s odhadem na prvočíslech menších nebo rovných . Takže na rozdíl od předchozího případu pro a důkaz Legendreovy domněnky nedostaneme ani pro všechna velká . Odhady odchylek na PNT nejsou (a ani nemohou být) dostatečné k prokázání existence alespoň jednoho prvočísla na tomto intervalu.

Zobecnění[editovat | editovat zdroj]

V roce 1919 použil Ramanujan (1887–1920) k získání jednoduššího důkazu vlastnosti funkce gama. Krátký příspěvek obsahoval zobecnění postulátu, ze kterého později vzniknul koncept ramanujanských prvočísel. Došlo také k dalším zobecněním ramanujanských prvočísel, například existuje důkaz, že

pokud je -té prvočíslo a je -té Ramanujanovo prvočíslo.

Ostatní zobecnění Bertrandova postulátu byla získána pomocí elementárních metod. (V následujícím textu náleží do množiny kladných celých čísel.) V roce 2006 M. El Bachraoui dokázal, že mezi a existuje prvočíslo. [4] V roce 1973, Denis Hanson dokázal, že existuje prvočíslo mezi a . Kromě toho v roce 2011 Andy Loo dokázal, že protože jde do nekonečna, počet prvočísel mezi a se také blíží nekonečnu, čímž se zobecňují Erdősovy a Ramanujanovy výsledky (viz oddíl Erdősův teorém níže). První výsledek se získá elementárními metodami. Druhý je založen na analytických mezích pro funkci faktoriál.

Sylvesterova věta[editovat | editovat zdroj]

Bertrandův postulát byl navržen pro aplikace do permutačních grup. Sylvester (1814–1897) zobecnil slabší výrok pomocí výroku: součin po sobě jdoucích celých čísel větších než je dělitelný prvočíslem větším než . Z toho vyplývá Bertrandův (slabší) postulát, vezmeme-li a dosadíme za čísla , včetně, kde . Podle Sylvestrova zobecnění má jedno z těchto čísel prvočíselného dělitele většího než . Protože všechna tato čísla jsou menší než , číslo s prvočíselným dělitelem větším než  má pouze jednoho prvočíselného dělitele, a je tedy prvočíslem. Všimněme si, že není prvočíslo, a proto nyní víme, že existuje prvočíslo , pro které platí .

Erdősovy věty[editovat | editovat zdroj]

V roce 1932 publikoval také Erdős (1913–1996) jednodušší důkaz využívající kombinační čísla a Čebyševovu funkci ϑ, definovanou jako:

,

kde jsou prvočísla menší nebo rovna . Podrobnosti viz důkaz Bertrandova postulátu.

Erdős v roce 1934 dokázal, že pro každé kladné celé číslo existuje přirozené číslo takové, že pro všechna , se mezi a nachází alespoň prvočísel. Ekvivalentní tvrzení bylo prokázáno v roce 1919 Ramanujanem.

Zpřesnění[editovat | editovat zdroj]

Z prvočíselné věty vyplývá, že pro jakékoli reálné existuje takové, že pro všechna existuje prvočíslo takové, že . Lze například ukázat, že

z čehož vyplývá, že jde do nekonečna (a zejména je větší než 1 pro dostatečně velké ). [5]

Byly také dokázány neasymptotické meze. V roce 1952 Jitsuro Nagura dokázal, že pro se mezi a vždy nachází prvočíslo.

V roce 1976 Lowell Schoenfeld ukázal, že pro se na otevřeném intervalu vždy nachází prvočíslo .

Pierre Dusart ve své disertační práci z roku 1998 vylepšil výše uvedený výsledek, když ukázal, že pro , a zejména pro existuje prvočíslo na intervalu .

V roce 2010 Pierre Dusart dokázal, že pro existuje alespoň jedno prvočíslo na intervalu.

V roce 2016 Pierre Dusart zlepšil svůj výsledek z roku 2010, když ukázal, že pokud , pak existuje alespoň jedno prvočíslo na intervalu . Ukázal také, že pro existuje alespoň jedno prvočíslo na intervalu.

Baker, Harman a Pintz dokázali, že v intervalu se nachází prvočíslo pro všechna dostatečně velká .

Důsledky[editovat | editovat zdroj]

  • Posloupnost prvočísel spolu s 1 je úplná posloupnost; libovolné kladné celé číslo může být zapsáno jako součet prvočísel (a 1), přičemž každé z nich je použito nanejvýš jednou.
  • Jediné harmonické číslo, které je zároveň celé, je číslo 1.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bertrand's postulate na anglické Wikipedii.

  1. [s.l.]: [s.n.] ISBN 978-0-387-20169-6. 
  2. Joseph Bertrand.
  3. P. Tchebychev.
  4. M. El Bachraoui, Primes in the Interval (2n, 3n)
  5. G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford University Press, 2008, p. 494.