Diskriminant: Porovnání verzí
Bez shrnutí editace značka: editace z Vizuálního editoru |
m {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy |
||
Řádek 1: | Řádek 1: | ||
'''Diskriminant''' je [[polynom]] s [[reálné číslo|reálnými]] nebo [[Komplexní číslo|komplexními]] koeficienty, který se používá při řešení [[Algebraická rovnice|algebraických]] [[polynomická rovnice|rovnic]], především [[kvadratická rovnice|kvadratických]], také při studiu vlastností polynomických funkcí. |
'''Diskriminant''' je [[polynom]] s [[reálné číslo|reálnými]] nebo [[Komplexní číslo|komplexními]] koeficienty, který se používá při řešení [[Algebraická rovnice|algebraických]] [[polynomická rovnice|rovnic]], především [[kvadratická rovnice|kvadratických]], také při studiu vlastností polynomických funkcí. |
||
== Diskriminant kvadratických rovnic == |
== Diskriminant kvadratických rovnic == |
||
Řádek 17: | Řádek 17: | ||
=== Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů polynomu druhého stupně === |
=== Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů polynomu druhého stupně === |
||
{{Viz též|Viètovy vzorce}} |
{{Viz též|Viètovy vzorce}} |
||
Pro kořeny <math>x_1, x_2</math> polynomu druhého stupně platí: |
Pro kořeny <math>x_1, x_2</math> polynomu druhého stupně platí: |
||
<math>ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2),</math> |
<math>ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2),</math> |
||
<math>x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}</math> ; <math>x_1x_2 =\frac{c}{a}</math>. |
<math>x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}</math> ; <math>x_1x_2 =\frac{c}{a}</math>. |
||
Vyjádření: <math>b = - (x_1 + x_2)a; </math> |
Vyjádření: <math>b = - (x_1 + x_2)a; </math> <math display="inline">c = x_1x_2a</math>; |
||
Dosazením do vzorce pro výpočet diskriminantu: <math> D = b^2 - 4ac = (x_1 + x_2)^2 a^2 - 4a^2x_1x_2 =a^2(x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2) = a^2(x_1 - x_2)^2.</math> |
Dosazením do vzorce pro výpočet diskriminantu: <math> D = b^2 - 4ac = (x_1 + x_2)^2 a^2 - 4a^2x_1x_2 =a^2(x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2) = a^2(x_1 - x_2)^2.</math> |
||
Řádek 29: | Řádek 29: | ||
Diskriminant polynomu druhého stupně (kvadratické rovnice) s kořeny <math>x_1,x_2</math> je dán vztahem: <math display="inline">D = a^2(x_1 - x_2)^2.</math> |
Diskriminant polynomu druhého stupně (kvadratické rovnice) s kořeny <math>x_1,x_2</math> je dán vztahem: <math display="inline">D = a^2(x_1 - x_2)^2.</math> |
||
* Dva různé reálné kořeny <math>x_1,x_2</math> pro: <math display="inline">D = a^2(x_1 - x_2)^2 > 0</math> |
* Dva různé reálné kořeny <math>x_1,x_2</math> pro: <math display="inline">D = a^2(x_1 - x_2)^2 > 0</math> |
||
* Jeden dvojnásobný reálný kořen <math>x_1 = x_2</math> pro: <math display="inline">D = a^2(x_1 - x_2)^2 = 0</math> |
* Jeden dvojnásobný reálný kořen <math>x_1 = x_2</math> pro: <math display="inline">D = a^2(x_1 - x_2)^2 = 0</math> |
||
* Dva komplexně sdružené imaginární kořeny <math>x_1 = m + ni, x_2 = m - ni</math> pro: <math>D = a^2(m + ni - m + ni)^2 = -4a^2n^2 < 0.</math> |
* Dva komplexně sdružené imaginární kořeny <math>x_1 = m + ni, x_2 = m - ni</math> pro: <math>D = a^2(m + ni - m + ni)^2 = -4a^2n^2 < 0.</math> |
||
Řádek 40: | Řádek 40: | ||
* Tři různé reálné kořeny <math>x_1,x_2, x_3</math> pro: <math display="inline">D > 0</math> |
* Tři různé reálné kořeny <math>x_1,x_2, x_3</math> pro: <math display="inline">D > 0</math> |
||
* Alespoň dva stejné kořeny <math>x_1 = x_2</math> |
* Alespoň dva stejné kořeny <math>x_1 = x_2</math> ze tří reálných pro: <math display="inline">D = 0</math> |
||
* Jeden reálný a dva imaginární, komplexně sdružené kořeny pro <math>D< 0</math>. |
* Jeden reálný a dva imaginární, komplexně sdružené kořeny pro <math>D< 0</math>. |
||
Řádek 48: | Řádek 48: | ||
Pro účely výpočtu možno rozepsat (viz [[Vandermondova matice|Vandermondův determinant]]): |
Pro účely výpočtu možno rozepsat (viz [[Vandermondova matice|Vandermondův determinant]]): |
||
: <math>D_n=a_n^{2n-2}(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2\dotsm(x_2-x_3)^2(x_2-x_4)^2\dotsm(x_3-x_4)^2\dotsm(x_{n-1}-x_n)^2</math> |
: <math>D_n=a_n^{2n-2}(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2\dotsm(x_2-x_3)^2(x_2-x_4)^2\dotsm(x_3-x_4)^2\dotsm(x_{n-1}-x_n)^2</math> |
||
== Reference == |
== Reference == |
||
{{Překlad|jazyk= de |článek= Diskriminante |revize = 207256409 }} |
{{Překlad|jazyk= de |článek= Diskriminante |revize = 207256409 }} |
||
Řádek 55: | Řádek 56: | ||
* [[Kvadratická rovnice]] |
* [[Kvadratická rovnice]] |
||
* [[Kubická rovnice]] |
* [[Kubická rovnice]] |
||
*[[Vandermondova matice]] |
* [[Vandermondova matice]] |
||
== Externí odkazy == |
== Externí odkazy == |
||
* {{MathWorld|id=Discriminant}} |
* {{MathWorld|id=Discriminant}} |
||
*Řešené [https://reseneulohy.cz/1607/cardanovy-vzorce příklady] |
* Řešené [https://reseneulohy.cz/1607/cardanovy-vzorce příklady] |
||
*[http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/1589-cardanovy-vzorce Kubická rovnice] |
* [http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/1589-cardanovy-vzorce Kubická rovnice] |
||
{{Autoritní data}} |
|||
{{Portály|Matematika}} |
{{Portály|Matematika}} |
Verze z 6. 8. 2021, 08:31
Diskriminant je polynom s reálnými nebo komplexními koeficienty, který se používá při řešení algebraických rovnic, především kvadratických, také při studiu vlastností polynomických funkcí.
Diskriminant kvadratických rovnic
Pro kvadratickou rovnici (kde ) je diskriminant .
Znaménko diskriminantu určuje charakter kořenů:
- Pokud , pak má daná rovnice právě dva různé reálné kořeny .
- Pokud , pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobný reálný kořen .
- Pokud , pak má daná rovnice právě dva různé imaginární sdružené kořeny .
Diskriminant ryze kvadratické rovnice, dané předpisem: (kde ), je ; pokud je kladný (liší se znaménko a ), má daná rovnice dva navzájem opačné kořeny: .
Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru, dané předpisem: , je .
Diskriminant triviální kvadratické rovnice (kde ) je roven .
Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů polynomu druhého stupně
Pro kořeny polynomu druhého stupně platí:
; .
Vyjádření: ;
Dosazením do vzorce pro výpočet diskriminantu:
Diskriminant polynomu druhého stupně (kvadratické rovnice) s kořeny je dán vztahem:
- Dva různé reálné kořeny pro:
- Jeden dvojnásobný reálný kořen pro:
- Dva komplexně sdružené imaginární kořeny pro:
Diskriminant kubických rovnic
U kubické rovnice (kde ) je diskriminant .
Lze zjednodušit na (pomocí Viètových vzorců). S reálnými keoficienty platí:
- Tři různé reálné kořeny pro:
- Alespoň dva stejné kořeny ze tří reálných pro:
- Jeden reálný a dva imaginární, komplexně sdružené kořeny pro .
Diskriminant polynomu n−tého stupně
Diskriminantem polynomu −tého stupně s kořeny rozumíme výraz
Pro účely výpočtu možno rozepsat (viz Vandermondův determinant):
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Diskriminante na německé Wikipedii.
Související články
Externí odkazy
- Diskriminant v encyklopedii MathWorld (anglicky)
- Řešené příklady
- Kubická rovnice