Převrácená hodnota

V matematice se jako převrácená (neboli reciproká) hodnota čísla x označuje to číslo, které po vynásobení číslem x dává jako výsledek 1. Převrácená hodnota čísla x se označuje jako ${\frac {1}{x}}$ nebo $x^{-1}$ . Platí tedy, že $x\cdot x^{-1}=1$ .

Nula je jediné číslo, které nemá převrácenou hodnotu v racionálním, reálném ani komplexním oboru. (Komplexní čísla však lze rozšířit o tzv. komplexní nekonečno, které je v takto rozšířeném oboru jednoznačným převráceným číslem k nule.) Všechna ostatní čísla z těchto oborů ji mají, přičemž převrácená hodnota racionálního čísla je racionální číslo, převrácená hodnota reálného čísla je reálné číslo (ale převrácená hodnota celého čísla není číslo celé (s výjimkou ±1), ale číslo racionální).

Převrácenou hodnotu komplexního čísla v algebraickém tvaru $z=a+b\mathrm {i}$ lze vyjádřit jako

{\frac {1}{z}}={\frac {1}{a+b\mathrm {i} }}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\mathrm {i}

,

v goniometrickém tvaru

{\frac {1}{z}}={\frac {1}{r\left(\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )\right)}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+\mathrm {i} \sin(-\varphi )\right).

V abstraktní algebře je převrácená hodnota označována jako inverzní prvek vzhledem k násobení, jedná se o speciální případ inverzního prvku.

Aplikace

Mnoho prakticky použitelných odvozených veličin (nejen fyzikálních) je definováno jako převrácené hodnoty jiných veličin. Jejich jednotky pak mají v dané soustavě veličin rozměr s rozměrovými exponenty opačného znaménka. Příklady:

Frekvence je převrácenou hodnotou periody. Jednotka hertz je proto v soustavě SI rovna reciproké sekundě.
Veličina poddajnost je definována jako převrácená hodnota tuhosti pružné soustavy.
Vzájemně reciprokými jsou elektrický odpor a elektrická vodivost.

Platí to i pro některé důležité fyzikální konstanty, např.:

kvantum magnetického toku $\varPhi _{0}$ je převrácenou hodnotou Josephsonovy konstanty $K_{\mathrm {J} }$ a má tedy jak hodnotu vyjádřenou převráceným číslem, tak definici vyjádřenou převráceným zlomkem zahrnujícím elementární náboj $e$ a Planckovu konstantu $h$ (třebaže jednotky jsou jiné, ale respektující převrácený rozměr veličiny):
$\varPhi _{0}=h/(2e)\,$ = 2,067 833 848…×10⁻¹⁵ Wb,

$K_{\mathrm {J} }=2e/h\,$ = 483 597,848 4…×10⁹ Hz·V⁻¹, a tedy

2,067 833 848…×10⁻¹⁵ = (483 597,848 4…×10⁹)⁻¹.

Související články