Tato stránka je kandidátem na
přesunutí na
Wikiknihy.
Na stránky tohoto projektu se umísťují svobodné a otevřené návody, manuály či učebnice. Na Wikipedii článek může zůstat, pouze pokud bude upraven do
encyklopedické podoby.
Logaritimická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu.[1][2]
Příklad, jak může rovnice vypadat:
[3]
[4]
- Podmínkou je, že
![{\displaystyle 3x-5>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e114e5582633e80537a1b8fc2d2024e11fbb8ce3)
![{\displaystyle 3x>5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6776d2cafb72645a526cb9cb1f5bfda533877e79)
![{\displaystyle x>{\frac {5}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c32632b12deaefab129a930c90c218953cb47b)
- Z 0 uděláme logaritmus o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:
![{\displaystyle {\frac {1}{7}}\log _{2}(3x-5)=\log _{2}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a21e3185e77728150e779366348440192838e630)
napíšeme jako exponent:
![{\displaystyle \log _{2}(3x-5)^{\frac {1}{7}}\ =\log _{2}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a240e2f7aca74c6d76bf190fe62c99315745390f)
- Nyní můžeme odstranit logaritmus na obou stranách, protože mají stejné základy:
![{\displaystyle (3x-5)^{\frac {1}{7}}\ =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0185c6f04b58d8b3eebd3a3f9bb0ca4c4f011c03)
- Z exponentu
uděláme sedmou odmocninu:
![{\displaystyle {\sqrt[{7}]{3x-5}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18bef6fe3f6c1e09f85de00c3945e21c793c45c3)
- Celou rovnici umocníme na 7:
![{\displaystyle 3x-5=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4bfe32eb6ac63735d54bdaf623609b78fa473dd)
- Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
![{\displaystyle 3x=1+5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f27a9bb6dc50f81e824c77673a451cccfc93cf)
![{\displaystyle 3x=6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a156fe200eb8ee4ac78dd688f4e48744521f7e5c)
- Celou rovnici vydělíme 3:
![{\displaystyle x=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f39b6e42e5ffb81ac7b051b9e48b9a91d0713c7)
Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešena logaritmická rovnice.
![{\displaystyle \log _{a}{\frac {b}{c}}=\log _{a}b-\log _{a}c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ed472ed5eb7927984d309c66061b9dbd2a8340)
![{\displaystyle \log _{a}b*c=\log _{a}b+\log _{a}c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50317d0401231cccb7929017b464d8d9c5c15181)
![{\displaystyle \log _{a}x^{n}=n*\log _{a}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bbd59d641444c01102ffd341290a632e3181153)
![{\displaystyle a^{\log _{a}x}=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71f6bee315a55a0de8e3faddffc446ddd3e817c)
Používá se u logaritmů s různými základy
1.
2. Roznásobíme závorky:
3. členy rovnice s x přesuneme na druhou stranu rovnice
4. Vytkneme x a na pravé straně použijeme vzorec 3.
5. převedeme závorku na druhou stranu a použijeme vzorec 1.
6. A máme tu řešení
![{\displaystyle x^{\log x}=100x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c9caffc093d27992ef0a5c2404c9004282a87f)
- zlogaritmujeme:
![{\displaystyle \log(x^{\log x})=\log(100x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f67450d6f8d25e41cc10ef7e062d03c5c93a5f75)
- použijeme vztahy 2. a 3.
![{\displaystyle \log x*\log x=\log 100+\log x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737dfc5b71e9cdd81951cedf4e84ede17f9119f4)
- log 100 = 2 a zavedeme substituci
![{\displaystyle a^{2}=2+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7026fb9b16a9d77d02b8b66b9da3dc5f683c1e35)
- Dostáváme kvadratickou rovnici
![{\displaystyle a^{2}-a-2=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9fcbcdca84f67affb30f4293b008f9b96f9dfa)
![{\displaystyle x=10^{2}=100}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46651380b3e1d3dd182b4986900a8ac049634de)
![{\displaystyle x=10^{-1}=0{,}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5776238cfc2cf682722fee8880d1b235726bbf5)
- Podmínky řešení neovlivní a tím je rovnice vyřešena.
![{\displaystyle x=\log _{2}4-\log _{2}8+\log _{2}16}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba3ef768e643e2e8f31f97161591c5f16a7dc2c)
- Použijeme vzorec 5.
![{\displaystyle x={\frac {2}{1}}-{\frac {3}{1}}+{\frac {4}{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19082ac974fa05a4e46c60fbe1b8446bf7c1866b)
![{\displaystyle x=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871a5063af170fa536b144fbcc5745146a42cc13)
![{\displaystyle (3-x)\cdot \log 2=(2-x)\cdot \log 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cc1ee1b76afd14fba2aa622e1ab12be2596b801)
- Vynásobíme závorky s logaritmem:
![{\displaystyle 3\cdot \log 2-x\cdot \log 2=2\cdot \log 4-x\cdot \log 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f499278ad3702828324b5065c69db89d603b6a12)
- Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
![{\displaystyle -x\cdot \log 2+x\cdot \log 4=2\cdot \log 4-3\cdot \log 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1fbb3a1778261a3111f08f80085d1192e0cd579)
- Vytkneme x:
![{\displaystyle x\cdot (-\log 2+\log 4)=2\cdot \log 4-3\cdot \log 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324072bb9d0e128be53bdae508f7a6b0fff31316)
- Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na kalkulačce:
![{\displaystyle x={\frac {-\log 2+\log 4}{2\cdot \log 4-3\cdot \log 2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9147575d55c0155cedc9915610252c2ad03387)
![{\displaystyle x={\frac {-\log 2+\log 4}{\log 4^{2}-\log 2^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef44a7dc3de21531ec1663740aff7c45465d44bd)
- Vypočítáme na kalkulačce:
![{\displaystyle x={\frac {-\log 2+\log 4}{\log 16-\log 8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa8ffd606b3e58aee395a4a3f977fd5780401b7d)
- Výsledek je:
![{\displaystyle x=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee42176e76ae6b56d68c42ced807e08b962a2b54)
Tím je vyřešená logaritmická rovnice.
![{\displaystyle (\log _{2}x)^{2}-\log _{2}x-2=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af5e506724cf492633dde3de9dcbf4bf25504e6)
Poznámka:
- Podmínkou je, že
![{\displaystyle x>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d24be5f0eb4a9173da6038badc8659546021d0)
- Zavedeme substituci
čili:
![{\displaystyle a^{2}-a-2=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9fcbcdca84f67affb30f4293b008f9b96f9dfa)
![{\displaystyle (a-2)(a+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e03b172cb1577aea90031a4f1f6f5a98399fa8)
- Nyní máme výsledky kvadratické rovnice:
![{\displaystyle a_{1}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5844e368b759755d72dbb3a1d89c78586bb5d6eb)
![{\displaystyle a_{2}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f456bfd3d1b7a59e2eb8a9f18023971f5ad1934b)
- Vyřešíme obě rovnice:
- Z pravidla víme, že
čili:
![{\displaystyle x=2^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0cb1acfe05604eb838aadea4e7ee1ec2ef2a6f)
![{\displaystyle x=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73bfdd8100b6a4ce07d011900560f102e3965064)
- Z pravidla víme, že
, čili:
![{\displaystyle x=2^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a693b6d15784ce8b28386956066bdf9ab2c9b62b)
![{\displaystyle x={\frac {1}{2^{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fbaba3efb2ad97dca955f91990b8a700a2148b7)
![{\displaystyle x={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2823014b08c738d0755d2397dc6d997a7e59c6c4)
Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je logaritmická rovnice vyřešena.