Logaritmická rovnice

Logaritimická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu.

Příklad, jak může rovnice vypadat: $(3-x)\cdot \log x=(2-x)\cdot \log 4$

Řešení logaritmické rovnice

Odstraněním logaritmu

1. ${\frac {1}{7}}\log _{2}(3x-5)=0$
   1. Podmínkou je, že $3x-5>0$
   2. $3x>5$
   3. $x>{\frac {5}{3}}$
2. Z 0 uděláme logaritmus o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:
   ${\frac {1}{7}}\log _{2}(3x-5)=\log _{2}1$
3. ${\frac {1}{7}}$ napíšeme jako exponent:
   $\log _{2}(3x-5)^{\frac {1}{7}}\ =\log _{2}1$
4. Nyní můžeme odstranit logaritmus na obou stranách, protože mají stejné základy:
   $(3x-5)^{\frac {1}{7}}\ =1$
5. Z exponentu ${\frac {1}{7}}$ uděláme sedmou odmocninu:
   ${\sqrt[{7}]{3x-5}}=1$
6. Celou rovnici umocníme na 7:
   $3x-5=1$
7. Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
   $3x=1+5$
8. $3x=6$
9. Celou rovnici vydělíme 3:
   $x=2$

Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešena logaritmická rovnice.

S pomocí vztahů které platí pro logaritmy

1. $\log _{a}{\frac {b}{c}}=\log _{a}b-\log _{a}c$
2. $\log _{a}b*c=\log _{a}b+\log _{a}c$
3. $\log _{a}x^{n}=n*\log _{a}x$
4. $a^{\log _{a}x}=x$
5. $\log _{a}b={\frac {\log _{x}b}{\log _{x}a}}$ Používá se u logaritmů s různými základy

1. rovnice

1. $(3-x)\cdot \log 2=(2-x)\cdot \log 4$

2. Roznásobíme závorky:

$3\log 2-x\log 2=2\log 4-x\log 4$

3. členy rovnice s x přesuneme na druhou stranu rovnice

$x\log 4-x\log 2=2\log 4-3\log 2$

4. Vytkneme x a na pravé straně použijeme vzorec 3.

$x*(\log 4-\log 2)=\log 4^{2}-\log 2^{3}$

5. převedeme závorku na druhou stranu a použijeme vzorec 1.

$x={\frac {\log {\frac {16}{8}}}{\log {\frac {4}{2}}}}$

$x={\frac {\log 2}{\log 2}}$

6. A máme tu řešení

$x=1$

2. rovnice

1. $x^{\log x}=100x$
2. zlogaritmujeme:

   $\log(x^{\log x})=\log(100x)$

3. použijeme vztahy 2. a 3.

   $\log x*\log x=\log 100+\log x$

4. log 100 = 2 a zavedeme substituci $\log x=a$

   $a^{2}=2+a$

5. Dostáváme kvadratickou rovnici $a^{2}-a-2=0$

$a=2$

$a=-1$

1. $x=10^{2}=100$
2. $x=10^{-1}=0{,}1$

1. Podmínky řešení neovlivní a tím je rovnice vyřešena.

3. rovnice

1. $x=\log _{2}4-\log _{2}8+\log _{2}16$
2. Použijeme vzorec 5.

$x={\frac {\log _{2}4}{\log _{2}2}}-{\frac {\log _{2}8}{\log _{2}2}}+{\frac {\log _{2}16}{\log _{2}2}}$

1. $x={\frac {2}{1}}-{\frac {3}{1}}+{\frac {4}{1}}$
2. $x=3$

S pomocí kalkulačky

1. $(3-x)\cdot \log 2=(2-x)\cdot \log 4$
2. Vynásobíme závorky s logaritmem:
   $3\cdot \log 2-x\cdot \log 2=2\cdot \log 4-x\cdot \log 4$
3. Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
   $-x\cdot \log 2+x\cdot \log 4=2\cdot \log 4-3\cdot \log 2$
4. Vytkneme x:
   $x\cdot (-\log 2+\log 4)=2\cdot \log 4-3\cdot \log 2$
5. Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na kalkulačce:
   $x={\frac {-\log 2+\log 4}{2\cdot \log 4-3\cdot \log 2}}$
6. $x={\frac {-\log 2+\log 4}{\log 4^{2}-\log 2^{3}}}$
7. Vypočítáme na kalkulačce:
   $x={\frac {-\log 2+\log 4}{\log 16-\log 8}}$
8. Výsledek je:
   $x=1$

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Substituce

1. $(\log _{2}x)^{2}-\log _{2}x-2=0$
   Poznámka: $(\log _{2}x)^{2}=\log _{2}^{2}x$
   1. Podmínkou je, že $x>0$
2. Zavedeme substituci $a=\log _{2}x$ čili:
   $a^{2}-a-2=0$
3. $(a-2)(a+1)$
4. Nyní máme výsledky kvadratické rovnice:
   1. $a_{1}=2$
   2. $a_{2}=-1$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. $\log _{2}x=2$
      1. Z pravidla víme, že $y=\log _{a}x=>a^{y}=x$ čili:
         $x=2^{2}$
      2. $x=4$
   2. $\log _{2}x=-1$
      1. Z pravidla víme, že $y=\log _{a}x=>a^{y}=x$, čili:
         $x=2^{-1}$
      2. $x={\frac {1}{2^{1}}}$
      3. $x={\frac {1}{2}}$

Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je logaritmická rovnice vyřešena.

Související články

• Logaritmus
• Rovnice
• Lineární rovnice
• Exponenciální rovnice
  • Umocňování
• Substituce (matematika)
• Kvadratická rovnice
• Vytýkání

Literatura

• PERNICOVÁ, Tereza. Logaritmy ve výuce matematiky na střední škole. Brno, 2015. 53 s. Diplomová práce. Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická. Vedoucí práce Karel Lepka. Dostupné online.