Eulerův vzorec pro libovolný úhel. Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí :
e
i
φ
=
cos
φ
+
i
sin
φ
{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \,\!}
Na Eulerův vzorec je zvykem nahlížet jako na větu komplexní analýzy .
Eulerův vzorec umožňuje definovat mocnění komplexním číslem a protože exponenciální funkce je inverzní funkcí k logaritmu , umožňuje definovat i logaritmy komplexních čísel.
Platí, že
|
e
i
φ
|
=
1
{\displaystyle |e^{i\varphi }|=1}
φ
{\displaystyle \varphi }
komplexní jednotky . Tím mimo jiné zjednodušuje zápis goniometrického tvaru komplexních čísel.
Taylorův rozvoj exponenciální funkce reálné proměnné je:
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
⋯
=
x
0
0
!
+
x
1
1
!
+
x
2
2
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
pro
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots ={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}
Její definiční obor lze holomorfním prodloužením rozšířit na obor komplexních čísel (x = a + ib , kde i je imaginární jednotka ). Pro další odvození stačí uvažovat, že x je ryze imaginární číslo (x = ib ); dosazením do Taylova rozvoje dostaneme:
e
i
b
=
(
i
b
)
0
0
!
+
(
i
b
)
1
1
!
+
(
i
b
)
2
2
!
+
(
i
b
)
3
3
!
+
⋯
=
i
0
b
0
0
!
+
i
1
b
1
1
!
+
i
2
b
2
2
!
+
i
3
b
3
3
!
+
⋯
=
b
0
0
!
+
i
b
1
1
!
+
i
2
b
2
2
!
+
i
.
i
2
b
3
3
!
+
⋯
{\displaystyle e^{ib}={\frac {{(ib)}^{0}}{0!}}+{\frac {{(ib)}^{1}}{1!}}+{\frac {{(ib)}^{2}}{2!}}+{\frac {{(ib)}^{3}}{3!}}+\cdots ={\frac {i^{0}b^{0}}{0!}}+{\frac {i^{1}b^{1}}{1!}}+{\frac {i^{2}b^{2}}{2!}}+{\frac {i^{3}b^{3}}{3!}}+\cdots ={\frac {b^{0}}{0!}}+{\frac {ib^{1}}{1!}}+{\frac {i^{2}b^{2}}{2!}}+{\frac {i.i^{2}b^{3}}{3!}}+\cdots }
Využijeme toho, že i 2 = -1:
e
i
b
=
b
0
0
!
+
i
b
1
1
!
+
(
−
1
)
b
2
2
!
+
i
(
−
1
)
b
3
3
!
+
⋯
{\displaystyle e^{ib}={\frac {b^{0}}{0!}}+{\frac {ib^{1}}{1!}}+{\frac {(-1)b^{2}}{2!}}+{\frac {i(-1)b^{3}}{3!}}+\cdots }
Přerovnáme členy a vytkneme imaginární jednotku i z členů, které ji obsahují:
e
i
b
=
(
b
0
0
!
−
b
2
2
!
+
⋯
)
+
i
(
b
1
1
!
−
b
3
3
!
+
⋯
)
{\displaystyle e^{ib}=\left({\frac {b^{0}}{0!}}-{\frac {b^{2}}{2!}}+\cdots \right)+i\left({\frac {b^{1}}{1!}}-{\frac {b^{3}}{3!}}+\cdots \right)}
Uzávorkované části jsou Taylorovy rozvoje funkcí kosinus a sinus reálné proměnné b :
cos
b
=
b
0
0
!
−
b
2
2
!
+
b
4
4
!
−
b
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
b
2
n
(
2
n
)
!
pro
b
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \cos b={\frac {b^{0}}{0!}}-{\frac {b^{2}}{2!}}+{\frac {b^{4}}{4!}}-{\frac {b^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {b^{2n}}{(2n)!}}\;{\mbox{ pro }}b\in (-\infty ,\infty )}
sin
b
=
b
1
1
!
−
b
3
3
!
+
b
5
5
!
−
b
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
b
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
pro
b
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \sin b={\frac {b^{1}}{1!}}-{\frac {b^{3}}{3!}}+{\frac {b^{5}}{5!}}-{\frac {b^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {b^{2n+1}}{(2n+1)!}}\;{\mbox{ pro }}b\in (-\infty ,\infty )}
čímž dostáváme Eulerův vzorec:
e
i
b
=
cos
(
b
)
+
i
sin
(
b
)
{\displaystyle e^{ib}=\cos(b)+i\sin(b)}
Vzorec platí i v obecnějším případě, kdy je
x
{\displaystyle x}
Taylorovy řady stejné jako v případě argumentu reálného.
Pro obecnou definici umocňování komplexním číslem použijeme vzorec
e
r
+
s
=
e
r
.
e
s
{\displaystyle e^{r+s}=e^{r}.e^{s}}
e
a
+
i
b
=
e
a
.
(
cos
b
+
i
sin
b
)
{\displaystyle e^{a+ib}=e^{a}.(\cos b+i\sin b)}
Obrázky, zvuky či videa k tématu Eulerův vzorec na Wikimedia Commons 
