Čínská věta o zbytcích

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Čínská věta o zbytcích (také známa jako Čínská věta o zbytku nebo Čínská zbytková věta) je matematické tvrzení z modulární aritmetiky. Pojednává o vlastnostech čísel v grupách kongruence modulo n (grupy ). Využívá se v algoritmech pro zpracování velkých čísel nebo v kryptografii. Nejstarší zmínkou o této větě je problém 26 z knihy Sun-c' Suan Ťing, kterou ve 3. století našeho letopočtu napsal čínský matematik Sun-c'.

Znění[editovat | editovat zdroj]

Existují dvě ekvivalentní znění této věty:

Aritmetická formulace[editovat | editovat zdroj]

Předpokládejme, že jsou navzájem po dvou nesoudělná přirozená čísla, pro . Potom každá soustava rovnic:

má řešení x a toto řešení je určeno jednoznačně v modulo .

Algebraická formulace[editovat | editovat zdroj]

Nechť jsou navzájem nesoudělná přirozená čísla, pro . Pak grupy a jsou izomorfní. Izomorfismem je (kromě jiných) zobrazení dané předpisem .

Ekvivalence předchozích dvou formulací[editovat | editovat zdroj]

Nechť platí tvrzení "aritmetická formulace". Zobrazení f z tvrzení "algebraická formulace" je homomorfismus zřejmě. Dále právě tehdy, když x řeší soustavu příslušnou . Proto f je prosté díky jednoznačnosti řešení a f je na díky existenci řešení.

Nechť naopak platí „algebraická formulace“, pak zobrazení poskytuje řešení soustavy z „teoreticky číselné formulace“. Jednoznačnost tohoto řešení plyne z prostoty f.

Zobecnění čínské věty pro soudělná čísla[editovat | editovat zdroj]

Ať m1, m2 jsou libovolná přirozená čísla větší než 2. Označme d = GCD(m1,m2), kde GCD(a,b) se rozumí největší společný dělitel čísel a, b. Pak jsou následující dvě podmínky ekvivalentní:


  1. Soustava má řešení.
  2. Platí d|(a2–a1) (tedy (a2–a1) je dělitelné d).


Jestliže platí d|(a2–a1), je řešení určeno jednoznačně v ZM, kde M = LCM(m1,m2), kde funkcí LCM(a,b) se rozumí nejmenší společný násobek čísel a, b.

Použití[editovat | editovat zdroj]

Na základě této věty lze vytvořit algoritmus výpočtu zbytku po dělení velké mocniny zadaného čísla. Tento algoritmus má své uplatnění například v šifrovacím protokolu RSA.

Praktická úloha[editovat | editovat zdroj]

Pokud vojáky seřadíme do 5 řad, zbudou 4. Pokud je seřadíme do 7 řad, zbude 1. Kolik je vojáků?

Čínská věta říká, že v rozmezí 1 až 35 je právě jedno číslo, které vyhovuje našemu zadání. Řekněme, že vojáků je a. Zapišme problém matematicky.

Pro nějaká přirozená čísla k, l. Jinými slovy

Proveďme substituci

Přičtěme trojku, abychom se zbavili čtyřky na levé straně

Chceme se zbavit pětky, proto rovnici vynásobme "inverzem 5", což je v tomto případě 3

Vyšlo nám, že k je 5, vojáků je tedy 5*5+4 = 29.

Další příklad použití[editovat | editovat zdroj]

Máme spočíst zbytek čísla 12316803 po dělení číslem 26741, neboli v Z26741. Nejprve musíme mít daný prvočíselný rozklad čísla 26741 = 112·13·17. Protože čísla 112, 13 a 17 jsou navzájem nesoudělná, je podle čínské věty o zbytcích číslo 12316803 v Z26741 určeno jednoznačně svými zbytky po dělení čísly 112, 13 a 17.

Následně využijeme faktu, že aφ(m) = 1 v Zm (Eulerova funkce) a spočteme tyto zbytky:

12316803 = 12110·2880+3 = 123 = 34 v Z121
12316803 = 1212·26400+3 = 123 = 12 v Z13
12316803 = 1216·19800+3 = 123 = 11 v Z17

(protože φ(112) = 110 ,φ(13) = 12 ,φ(17) = 16)

Nyní použijeme čínskou vetu o zbytcích, kde m1 = 112, m2 = 13 a m3 = 17. Pak platí:
12316803 = (34 ·M1 · N1) + (12 ·M2 · N2) + (11 ·M3 · N3) v Z26741,
kde

M1 = 13 · 17 = 221
M2 = 112 · 17 = 2057
M3 = 112 · 13 = 1573

N1 = M1–1 = 100–1 = 23 v Z121
N2 = M2–1 = 3–1 = 9 v Z13
N3 = M3–1 = 9–1 = 2 v Z17
Tudíž 12316803 = (34 · 221 · 23) + (12 · 2057 · 9) + (11 · 1573 · 2) = 1728 v Z26741

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  • RNDr. Jiří Velebil, Ph.D.: Diskrétní matematika a logika, ČVUT Praha 2006