Nejmenší společný násobek

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Nejmenší společný násobek (zkratka: NSN, anglicky LCM - Least Common Multiple) několika daných čísel je nejmenší kladné celé číslo, které je celočíselným násobkem všech daných čísel. Společný násobek dvou nebo několika čísel je takové číslo, které je násobkem každého z těchto daných čísel.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Například nejmenší společný násobek čísel 15, 20 a 90 je 180.

Výpočet pomocí rozkladu[editovat | editovat zdroj]

Nejmenší společný násobek dvou čísel lze nalézt tak, že každé z čísel je rozloženo na součin prvočísel (tzv. prvočíselný rozklad) a výsledný NSN je součinem největšího možného počtu všech prvočísel (resp. součin největších mocnin), která se vyskytují alespoň v jednom rozkladu.[1][2][3]

Ukázka (součin největšího možného počtu prvočísel)[editovat | editovat zdroj]

  1. Zadaná čísla: 15 a 20
  2. Číslo 15 lze rozložit na součin prvočísel 3 × 5
  3. Číslo 20 lze rozložit na součin 2 × 2 × 5
  4. Nejmenší součin musí obsahovat součin: 2 × 2, 3 a 5, což je 2 × 2 × 3 × 5 = 60.

Ukázka (součin největších možných mocnin)[editovat | editovat zdroj]

  1. Zadaná čísla: 36, 40
  2. 36 = 22 × 32
  3. 40 = 23 × 51
  4. Výsledek: n(36, 40) = 23 × 32 × 51 = 360

Ukázka se třemi čísly[editovat | editovat zdroj]

  1. Zadaná čísla: 15, 20, 90
  2. 15 = 3 × 5
  3. 20 = 2 × 2 × 5
  4. 90 = 2 × 3 × 3 × 5
  5. Výsledek: n(15, 20, 90) = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180

Výpočet pomocí NSD[editovat | editovat zdroj]

Největší společný násobek (NSN) lze vypočítat pomocí největšího společného dělitele (NSD) pomocí vzorečku:[2]

Využití[editovat | editovat zdroj]

NSN se používá například při sčítání zlomků o různých jmenovatelích, kdy jmenovatel výsledku je nejmenším společným násobkem jmenovatelů sčítaných zlomků, například:

Zajímavost[editovat | editovat zdroj]

Součin největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku dvou čísel se rovná součinu těchto dvou čísel.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Jestliže největší společný dělitel dvou čísel a je , potom lze číslo rozložit na součin a číslo lze rozložit na součin . Je-li skutečně největším společným dělitelem, potom je nejmenším společným násobkem. Součin je roven , což je také součin NSD a NSN.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. MASARYKOVA ZŠ V PLZNI. Nejmenší společný násobek. YouTube [online]. 2013-10-20 [cit. 2017-02-27]. Dostupné online.  
  2. a b VOJÁČEK, Jakub. Nejmenší společný násobek. Matematika pro každého [online]. 2008-05-24 [cit. 2017-02-27]. Dostupné online.  
  3. SCHOOL ACTION. Nejmenší společný násobek. YouTube [online]. 2008-05-23 [cit. 2017-02-27]. Dostupné online.  

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Plej malgranda komuna oblo na esperantské Wikipedii.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

  • do-skoly.cz - Online kalkulátor pro výpočet nejmenšího společného násobku 2 - 5 čísel včetně postupu řešení.