Konkrétní problémy: Definice odpovídá tečně kuželosečky, neřeší komplikovanější křivky, například prostorové
Tečna funkce .
Tečna kružnice .
Tečna je přímka , která má s křivkou společný jeden bod dotyku . Na rozdíl od průsečíku leží všechny okolní body křivky ve stejné polorovině určené přímkou. Pokud je křivka grafem nějaké funkce , pak první derivace funkce je směrnicí tečny.
Nejznámější křivkou je kružnice , pro kterou platí: každým bodem ležícím vně kružnice lze vést dvě tečny ke kružnici. Protože každá tečna je kolmá k poloměru kružnice, používáme pro její sestrojení Thaletovu kružnici .
Tečný vektor
Tečna křivky, jejíž body jsou určeny rádiusvektorem
r
=
r
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}
, která prochází bodem
r
0
=
[
x
0
,
y
0
,
z
0
]
{\displaystyle \mathbf {r} _{0}=[x_{0},y_{0},z_{0}]}
dané křivky, tedy bodem, v němž
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_{0}}
, má směr určený vektorem
(
d
r
d
t
)
0
=
[
(
d
x
d
t
)
0
,
(
d
y
d
t
)
0
,
(
d
z
d
t
)
0
]
{\displaystyle {\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}=\left[{\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0},{\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0},{\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}\right]}
.
Tento vektor se nazývá tečným vektorem . Bod
r
0
{\displaystyle \mathbf {r} _{0}}
je tzv. dotykový (tečný) bod .
Jednotkovým tečným vektorem
t
{\displaystyle \mathbf {t} }
se nazývá vektor jednotkový vektor ve směru tečny
t
=
d
r
d
t
d
r
d
t
⋅
d
r
d
t
=
(
d
x
d
t
(
d
x
d
t
)
2
+
(
d
y
d
t
)
2
+
(
d
z
d
t
)
2
,
d
y
d
t
(
d
x
d
t
)
2
+
(
d
y
d
t
)
2
+
(
d
z
d
t
)
2
,
d
z
d
t
(
d
x
d
t
)
2
+
(
d
y
d
t
)
2
+
(
d
z
d
t
)
2
)
{\displaystyle \mathbf {t} ={\frac {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\sqrt {{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}}}=\left({\frac {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}{\sqrt {{\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}}}},{\frac {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}{\sqrt {{\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}}}},{\frac {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}{\sqrt {{\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}}}}\right)}
Pokud je parametrem křivky oblouk
s
{\displaystyle s}
, pak platí
t
=
d
r
d
s
{\displaystyle \mathbf {t} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}}
Rovnice tečny
Jednotlivé složky jednotkového tečného vektoru
t
{\displaystyle \mathbf {t} }
představují směrové kosiny tečny v daném bodě křivky.
Rovnici tečny ke křivce
r
=
r
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}
v bodě
r
0
{\displaystyle \mathbf {r} _{0}}
lze zapsat jako
X
−
x
0
(
d
x
d
t
)
0
=
Y
−
y
0
(
d
y
d
t
)
0
=
Z
−
z
0
(
d
z
d
t
)
0
{\displaystyle {\frac {X-x_{0}}{{\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}}}={\frac {Y-y_{0}}{{\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}}}={\frac {Z-z_{0}}{{\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}}}}
nebo ve vektorovém tvaru
R
=
r
0
+
u
(
d
r
d
t
)
0
{\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} _{0}+u{\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}}
,
kde
r
0
=
[
x
0
,
y
0
,
z
0
]
{\displaystyle \mathbf {r} _{0}=[x_{0},y_{0},z_{0}]}
je bod dotyku tečny,
R
=
[
X
,
Y
,
Z
]
{\displaystyle \mathbf {R} =[X,Y,Z]}
jsou body tečné přímky,
t
{\displaystyle t}
je parametr křivky a
u
{\displaystyle u}
je parametr tečny.
Související články