Stirlingův vzorec

Graf Stirlingova vzorce

Stirlingův vzorec (též Stirlingova formule) je nejznámější aproximací faktoriálu pro vysoké hodnoty argumentu. Stejně dobře jde vzorec použít i pro aproximaci gama funkce, která v podstatě představuje zobecnění faktoriálu a to na obor komplexních čísel. Je pojmenován po skotském matematikovi Jamesi Stirlingovi.

Stirlingův vzorec zní:

$n!= \Gamma (n+1) \approx \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$

Symbolu přibližně je nutno rozumět tak, že platí:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n} = 1$

S rostoucím $n$ tedy Stirlingův vzorec procentuálně čím dál lépe aproximuje faktoriál. Absolutní odchylka faktoriálu a jeho Stirlingovy aproximace ovšem k nule nejde.

Představu o přesnosti tohoto vztahu si můžeme udělat z procentuální odchylky faktoriálu od Stirlingova vzorce. Tato odchylka je vždy kladná, tedy Stirlingův vzorec je vždy o něco menší než daný faktoriál. Z tabulky je patrné, že již pro $n=1$ je odchylka docela malá. Pro $n=0$ nemá Stirlingův vzorec smysl.

Odchylka n! od Stirlingova vzorce

n	$\delta_{n!}$
1	8 %
2	4 %
5	1,7 %
10	0,8 %
20	0,4 %
40	0,2 %
60	0,1 %

Stirlingův vzorec se používá hlavně při výpočtu limit, kde vystupuje faktoriál. Ve fyzice nalézá velké uplatnění ve statistické fyzice.

Odvození

Nejlépe odvodíme Stirlingův vzorec z definice funkce gamma, platí totiž:

$n!=\Gamma (n+1) = \int_0^{\infty} x^n e^{-x} \, \mathrm{d}x=\int_0^{\infty} \exp (-x + n \ln x) \, \mathrm{d}x$

Argument v exponenciále nabývá maxima pro $x=n$, bude proto vhodné vůči tomuto bodu funkci aproximovat pomocí Taylorovy řady. První derivace je zde nulová, jelikož se jedná o maximum, druhá derivace je záporná a rovna $-\frac{1}{n}$.

Dostáváme tedy:

$n! \approx \int_0^{\infty} \exp \left( n \ln n - n - \frac{1}{2n} (x-n)^2 \right) \, \mathrm{d}x$

Kde první člen v exponenciále odpovídá funkční hodnotě v maximu, koeficient u kvadrátu je polovinou druhé derivace.

Další úpravou výrazu dostaneme:

$n! \approx \left(\frac{n}{e} \right)^n \int_{0}^{\infty} \exp \left(- \frac{1}{2n} (x-n)^2 \right)\, \mathrm{d}x = \sqrt{2n} \left(\frac{n}{e} \right)^n \int_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}^{\infty} e^{-x^2} \, \mathrm{d}x$

Poslední integrovaná funkce nabývá vysokých hodnot pouze v okolí počátku, a proto můžeme předpokládat, že rozšířením integračního oboru na celá reálná čísla se nedopustíme velké chyby (zajímají nás případy, kdy je $n$ velké). Pak je poslední integrál integrál Gaussův a je roven $\sqrt{\pi}$. Po dosazení tedy konečně dostáváme:

$n! \approx \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$

Což je právě Stirlingův vzorec. Toto odvození je nutno brát s rezervou, nikde jsme totiž neodhadli chybu výpočtu.

Za hranice klasického Stirlingova vzorce

Stirlingův vzorec je prvním členem asymptotického rozvoje funkce, tedy rozvoje, který dobře vystihuje chování faktoriálu v nekonečnu.

Chceme-li vystihnout chování faktoriálu v nekonečnu ještě lépe, je třeba použít i další členy asymptotického rozvoje. Tzv. Stirlingova asymptotická řada pro faktoriál má pak tvar:

$n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right).$

Tato řada umožňuje přinejmenším odhadnout chybu Stirlingovy formule, okamžitě vidíme, že velikost relativní chyby je pro velká $n$ rovna $\frac{1}{12n}$. Tento odhad relativní chyby velmi dobře odpovídá chybám uvedeným v tabulce.

Poznamenejme, že uvedená asymptotická řada bodově nekonverguje, pro určité pevné $n$ se tedy od určitého členu začne součet řady vzdalovat od hodnoty, kterou má aproximovat. Vyšší členy mají tedy smysl hlavně pro velká $n$.