Gama funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Graf funkce gama pro reálná čísla.

Gama funkce (někdy také označovaná jako Eulerův integrál druhého druhu) je zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel. Používá se v mnoha oblastech matematiky, především pro popis některých rozdělení ve statistice.

Funkce je značena pomocí řeckého písmene gama a je definována jako holomorfní rozšíření integrálu:

\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t

Ačkoliv integrál samotný konverguje jen je-li reálná část z kladná, gama funkce je definována pro libovolné komplexní (a tedy i reálné) číslo, kromě nuly a celých záporných čísel (−1, −2, …).

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Funkce \Gamma je spojitá pro z>0. Funkce \Gamma diverguje pro z\leqq 0.

Pro n-tou derivaci platí vztah

\Gamma^{(n)}(z) = \int\limits_0^\infty t^{z-1} \mathrm{e}^{-t} \ln^n t \, \mathrm{d}t.

V oblasti kladných reálných čísel má gama funkce minimum v bodě x \approx 1{,}461\,6.

Užitečné vztahy[editovat | editovat zdroj]

Některé hodnoty[editovat | editovat zdroj]

\Gamma(-2)\, (nedefinováno)
\Gamma(-3/2)\, = \frac {4\sqrt{\pi}} {3} \,
\Gamma(-1)\, (nedefinováno)
\Gamma(-1/2)\, = -2\sqrt{\pi}\,
\Gamma(0)\, (nedefinováno)
\Gamma(1/2)\, = \sqrt{\pi}\,
\Gamma(1)\, =0!=1 \,
\Gamma(3/2)\, = \frac {\sqrt{\pi}} {2} \,
\Gamma(2)\, =1!=1 \,
\Gamma(5/2)\, = \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} \,
\Gamma(3)\, =2!=2 \,
\Gamma(7/2)\, = \frac {15\sqrt{\pi}} {8} \,
\Gamma(4)\, =3!=6 \,
\lim_{z \to 0 +} \Gamma(z)\, = +\infty \,
\lim_{z \to +\infty} \Gamma(z)\, = +\infty \,

Grafy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]