Gama funkce

Graf funkce gama pro reálná čísla.

Gama funkce (někdy také označovaná jako Eulerův integrál druhého druhu) je zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel. Používá se v mnoha oblastech matematiky, především pro popis některých rozdělení ve statistice.

Funkce je značena pomocí řeckého písmene gama a je definována jako holomorfní rozšíření integrálu:

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$

Ačkoliv integrál samotný konverguje jen je-li reálná část z kladná, gama funkce je definována pro libovolné komplexní (a tedy i reálné) číslo, kromě nuly a celých záporných čísel (−1, −2, …).

Vlastnosti [editovat]

Funkce $\Gamma$ je spojitá pro $z>0$ . Funkce $\Gamma$ diverguje pro $z\leqq 0$ .

Pro n-tou derivaci platí vztah

$\Gamma^{(n)}(z) = \int\limits_0^\infty t^{z-1} \mathrm{e}^{-t} \ln^n t \, \mathrm{d}t$ .

V oblasti kladných reálných čísel má gama funkce minimum v bodě $x \approx 1{,}461\,6$ .

Užitečné vztahy [editovat]

Pro přirozená čísla $n$ platí $\Gamma(n) = (n-1)! \,$
$\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)\,$
$\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin {\pi z}} \; \mbox{ pro } 0<z<1$
$\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2z-1}}\Gamma(2z)$

Některé hodnoty [editovat]

$\Gamma(-2)\,$	(nedefinováno)
$\Gamma(-3/2)\,$	$= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} \,$
$\Gamma(-1)\,$	(nedefinováno)
$\Gamma(-1/2)\,$	$= -2\sqrt{\pi}\,$
$\Gamma(0)\,$	(nedefinováno)
$\Gamma(1/2)\,$	$= \sqrt{\pi}\,$
$\Gamma(1)\,$	$=0!=1 \,$
$\Gamma(3/2)\,$	$= \frac {\sqrt{\pi}} {2} \,$
$\Gamma(2)\,$	$=1!=1 \,$
$\Gamma(5/2)\,$	$= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} \,$
$\Gamma(3)\,$	$=2!=2 \,$
$\Gamma(7/2)\,$	$= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} \,$
$\Gamma(4)\,$	$=3!=6 \,$
$\lim_{z \to 0 +} \Gamma(z)\,$	$= +\infty \,$
$\lim_{z \to +\infty} \Gamma(z)\,$	$= +\infty \,$