Exponenciální funkce

Graf exponenciální funkce o základu $e$ na intervalu (-5;5)

Exponenciální funkce $f(x)$ je matematická funkce, kterou lze zapsat ve tvaru

$y = f(x) = a^x$,

kde $a$ je kladné číslo různé od $1$.

Definičním oborem exponenciální funkce můžou být všechna reálná, resp. všechna komplexní čísla. Číslo $a$ se nazývá základ, $x$ exponent.

Vlastnosti exponenciální funkce

Pro každou exponenciální funkci $y = a^x$ platí:

• je zdola omezená
• je prostá
• pro a > 1 rostoucí, pro a ∈ (0; 1) klesající
• $f(0) = 1$ (tedy graf prochází bodem [0;1])

Exponenciála o základu e

Nejpřirozenější základ exponenciální funkce je Eulerovo číslo $e$. Funkce $f(x)=e^x$ je až na násobek jediné řešení diferenciální rovnice

$y'=y.$

Funkce $e^x$ se obvykle definuje mocninnou řadou

$e^x=\sum_{j=0}^\infty\frac{x^j}{j!},$

která konverguje pro každé reálné i komplexní $x$. Obecná exponenciální funkce se pak dá definovat jako

$a^x=e^{x \ln\, a}$

kde $\ln\, a$ je přirozený logaritmus čísla $a$.

Dosazením čistě imaginárního čísla $ix$ do definice exponenciály dostáváme vztah $e^{ix}= \cos x+ i \sin x$

Vztah logaritmické a exponenciální funkce

Exponenciální a logaritmická funkce jsou navzájem inverzní, tedy platí:

$f: y = a^x$, $f^{-1}: y = log_{a}x$.

Grafy těchto funkcí jsou osově souměrné podle přímky $y = x$.

Exponenciála operátorů

Související informace naleznete v článku Maticová funkce.

Mocninná řada v definici exponenciály umožňuje definovat exponenciálu i mnohem komplikovanějších objektů, než jsou komplexní čísla, zejména matic a operátorů. Mocniny a součty operátorů, respektive matic, jsou dobře definované a příslušná řada konverguje.

Související články

• Umocňování
• Logaritmická funkce
• Eulerův vzorec