Rieszovo lemma

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Rieszovo lemma, známé též jako lemma o skorokolmici (kvazikolmici), hovoří o tom, že i v normovaném lineárním prostoru bez skalárního součinu (kde schází pojem kolmosti) existují k danému podprostoru jakési „skorokolmé“ vektory, které v jistém smyslu aproximují kolmý vektor s libovolnou přesností.

Znění[editovat | editovat zdroj]

Nechť X je normovaný lineární prostor a Y je uzavřený vlastní podprostor v X. Pro každé r < 1 potom existuje x ∈ X takové, že ||x|| = 1 a dist(xY) > r.

Důkaz. Zvolme x0 ∈ X\Y, potom d := dist(x0Y) > 0. Dále zvolme y0 ∈ Y takové, že ||x0 – y0|| ≤ d/r. Definujme x := (x0 – y0)/||x0 – y0||, tento vektor splňuje požadovanou podmínku, neboť pro libovolné y ∈ Y

\|x-y\| = \frac{1}{\|x_0-y_0\|} \big\| x_0-y_0-y\|x_0-y_0\| \big\| \geq \frac{\operatorname{dist}(x_0,Y)}{\|x_0-y_0\|} \geq d\cdot\frac{r}{d} = r.

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

Lemma lze též formulovat obráceně v trochu obecnějším tvaru: Jestliže existuje r < 1 takové, že pro všechna x ∈ X, ||x|| = 1 je dist(xY) < r, pak Y je hustý v X.

V konečněrozměrném případě dokonce existuje obdoba kolmého vektoru, tj. existuje jednotkový vektor x takový, že dist(xY) = 1. Stačí vzít posloupnost jednotkových vektorů {xn} ⊂ X takovou, že dist(xnY) > 1 – 1/n. Má-li X konečnou dimenzi, pak je jednotková sféra S ⊂ X kompaktní a existuje vybraná podposloupnost, která konverguje k nějakému x ∈ S, pro které platí dist(xY) ≥ 1, zároveň však dist(xY) ≤ 1.

Naopak v prostoru nekonečné dimenze takový vektor existovat nemusí. Jako příklad poslouží

X:=\{f\in C([0,1]); f(0)=0\},\quad Y:=\{f\in X;\int_0^1 f = 0\},

podprostor Y je vlastní a uzavřený v X. Pro každou funkci f ∈ X, ||f|| = 1 je možné zkonstruovat funkci g ∈ Y takovou, že ||f – g|| < 1 a tedy dist(fY) < 1.

Důsledky[editovat | editovat zdroj]

Opakovanou aplikací Rieszova lemmatu se dá ukázat, že v normovaném lineárním prostoru nekonečné dimenze existuje pro dané r < 1 posloupnost jednotkových vektorů {xn} taková, že ||xn – xm|| > r pro každá dvě různá přirozená čísla m a n. Tato vlastnost nekonečněrozměrných normovaných lineárních prostorů má důležitý význam. Ze zmíněné posloupnosti není možné vybrat konvergentní podposloupnost, platí tedy následující tvrzení:

V normovaném lineárním prostoru X je uzavřená jednotková koule kompaktní právě tehdy, když X má konečnou dimenzi.

V normovaném lineárním prostoru nekonečné dimenze mají kompaktní množiny prázdný vnitřek.

Související články[editovat | editovat zdroj]