Rieszova věta o reprezentaci

Rieszova věta o reprezentaci je důležité matematické tvrzení z oboru funkcionální analýzy. Tato věta umožňuje reprezentovat funkcionály na Hilbertově prostoru skalárním součinem s jistým prvkem tohoto prostoru.

Znění

Pro každý spojitý lineární funkcionál $F: \mathcal{H} \rightarrow \mathbb{C}$ na Hilbertově prostoru $\mathcal{H}$ existuje jediný vektor $y \in \mathcal{H}$ takový, že:

$F x = \lang x, y \rang \ \forall x \in \mathcal{H}$.

A navíc:

$\| F \| = \| y \|$

Poznámky

Podmínka spojitosti funkcionálu je ekvivalentní s podmínkou omezenosti.

V dovětku je třeba správně rozlišovat druhy norem:

$\| F \| = \sup_{\| x \| \le 1} \|F x \|$

ale

$\| x \| = \sqrt{\lang x,x \rang}$.

Využití

V praxi jsou skalární součiny často definovány nějakým vzorcem s použitím integrálu nebo linerání formou, v takových případech Rieszova věta zaručuje, že funkcionály je možné zapsat obdobným vzorcem. V teorii je Rieszova věta nezbytná pro zavedení sdružených operátorů, které jsou významné samy o sobě. Dále je této věty potřeba při zavádění duálních prostorů, které mají velké využití například v kvantové fyzice.

Důkaz

Nejprve ověříme korektnost tvrzení, tedy že taková reprezentace není v rozporu s linearitou a omezeností a funkcionálu:

$F(x + z) = \lang x + z, y \rang = \lang x, y \rang + \lang z, y \rang, F(\lambda x) = \lang \lambda x, y\rang = \lambda \lang x,y \rang$

Obdobě omezenost, tu zajišťuje Cauchyho–Schwarzova nerovnost.

$|F x| = |\lang x, y \rang| \le \|x\| \|y\|$

Nyní dokážeme, že požadovaný vektor musí vždy existovat.

Pro $F = 0$ je důkaz triviální, předpokládejme tedy dále, že $F \ne 0$. $\operatorname{Ker} F$ je tedy uzavřený vlastní podprostor $\mathcal{H}$, existuje tedy nenulový vektor $z \bot \operatorname{Ker} F$.

Označme $G x = \lang x, \frac{\overline{F z}}{\|z\|^2} z \rang$ a ukažme, že $F = G$.

Pro $x \in \operatorname{Ker} F$ platí: $G x = 0 = F x$.

Jelikož $z$ je libovolný a platí $\mathcal{H} = \operatorname{Ker} F \oplus \operatorname{Span}\{z\}$, stačí již jen ukázat, že:

$G z = \lang z, \frac{\overline{F z}}{\|z\|^2} z \rang = \frac{F z}{\| z \|^2}\lang z, z \rang = F z$

Můžeme ztotožnit $y = \frac{\overline{F z}}{\|z\|^2}z$, takže existence je dokázána.

Jednoznačnost dokážeme sporem:

Předpokládejme, že existují dva vektory $y_1 \ne y_2$, takové že: $F x = \lang x, y_1 \rang = \lang x, y_2 \rang \ \forall x \in \mathcal{H}$

Z toho plyne: $\lang x, y_1 - y_2 \rang = 0 \ \forall x \in \mathcal{H} \Rightarrow (y_1 - y_2) \bot \mathcal{H} \Rightarrow y_1 - y_2 = 0 \Rightarrow y_1 = y_2$, což je spor s předpokladem.

Zbývá dokázat dovětek:

Vezměme vektor $x$, takový, že $\| x \| \le 1$, pak platí:

$|F x| = \lang x, y \rang \le \| x \| \| y \| \le \| y \| \Rightarrow \| F \| \le \| y \|$

Zároveň však: $|F (\frac{y}{\|y\|})| = | \lang \frac{y}{\|y\|}, y \rang | = \| y \|$

Z čehož vyvodíme $\| F \| = \| y \|$. ∎