Rieszova věta o reprezentaci

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Rieszova věta o reprezentaci je důležité matematické tvrzení z oboru funkcionální analýzy. Tato věta umožňuje reprezentovat funkcionály na Hilbertově prostoru skalárním součinem s jistým prvkem tohoto prostoru.

Znění[editovat | editovat zdroj]

Pro každý spojitý lineární funkcionál F: \mathcal{H} \rightarrow \mathbb{C} na Hilbertově prostoru \mathcal{H} existuje jediný vektor y \in \mathcal{H} takový, že:

F x = \lang x, y \rang \ \forall x \in \mathcal{H}.

A navíc:

\| F \| = \| y \|

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

Podmínka spojitosti funkcionálu je ekvivalentní s podmínkou omezenosti.

V dovětku je třeba správně rozlišovat druhy norem:

\| F \| = \sup_{\| x \| \le 1} \|F x \|

ale

\| x \| = \sqrt{\lang x,x \rang}.

Využití[editovat | editovat zdroj]

V praxi jsou skalární součiny často definovány nějakým vzorcem s použitím integrálu nebo lineární formou, v takových případech Rieszova věta zaručuje, že funkcionály je možné zapsat obdobným vzorcem. V teorii je Rieszova věta nezbytná pro zavedení sdružených operátorů, které jsou významné samy o sobě. Dále je této věty potřeba při zavádění duálních prostorů, které mají velké využití například v kvantové fyzice.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Nejprve ověříme korektnost tvrzení, tedy že taková reprezentace není v rozporu s linearitou a omezeností a funkcionálu:

F(x + z) = \lang x + z, y \rang = \lang x, y \rang + \lang z, y \rang, F(\lambda x) = \lang \lambda x, y\rang = \lambda \lang x,y \rang

Obdobě omezenost, tu zajišťuje Cauchyho–Schwarzova nerovnost.

|F x| = |\lang x, y \rang| \le \|x\| \|y\|


Nyní dokážeme, že požadovaný vektor musí vždy existovat.

Pro F = 0 je důkaz triviální, předpokládejme tedy dále, že F \ne 0. \operatorname{Ker} F je tedy uzavřený vlastní podprostor \mathcal{H}, existuje tedy nenulový vektor z \bot \operatorname{Ker} F.
Označme G x = \lang x, \frac{\overline{F z}}{\|z\|^2} z \rang a ukažme, že F = G.
Pro x \in \operatorname{Ker} F platí: G x = 0 = F x.
Jelikož z je libovolný a platí \mathcal{H} = \operatorname{Ker} F \oplus \operatorname{Span}\{z\}, stačí již jen ukázat, že:
 G z = \lang z, \frac{\overline{F z}}{\|z\|^2} z \rang = \frac{F z}{\| z \|^2}\lang z, z \rang = F z
Můžeme ztotožnit y = \frac{\overline{F z}}{\|z\|^2}z, takže existence je dokázána.

Jednoznačnost dokážeme sporem:

Předpokládejme, že existují dva vektory y_1 \ne y_2, takové že: F x = \lang x, y_1 \rang = \lang x, y_2 \rang \ \forall x \in \mathcal{H}
Z toho plyne: \lang x, y_1 - y_2 \rang = 0 \ \forall x \in \mathcal{H} \Rightarrow (y_1 - y_2) \bot \mathcal{H} \Rightarrow y_1 - y_2 = 0 \Rightarrow y_1 = y_2, což je spor s předpokladem.

Zbývá dokázat dovětek:

Vezměme vektor x, takový, že \| x \| \le 1, pak platí:
|F x| = \lang x, y \rang \le \| x \| \| y \| \le \| y \| \Rightarrow \| F \| \le \| y \|
Zároveň však: |F (\frac{y}{\|y\|})| = | \lang \frac{y}{\|y\|}, y \rang | = \| y \|
Z čehož vyvodíme \| F \| = \| y \|. ∎