Poissonova závorka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Poissonova závorka označuje matematický výraz používaný v matematice a klasické mechanice (konkrétně v Hamiltonovské mechanice), kde se využívá k popisu časového vývoje dynamického systému. V matematice se Poissonova závorka používá k definici Poissonovy algebry (příkladem Poissonovy algebry je Poissonova varieta).

Poissonova závorka je pojmenována po Siméonu-Denisi Poissonovi.

Vyjádření v kanonických souřadnicích[editovat | editovat zdroj]

Mějme ve fázovém prostoru s kanonickými souřadnicemi (q_i,p_j) dvě funkce f(p_i,q_i,t)\, a g(p_i,q_i,t)\,. Poissonova závorka má pak tvar

\{f,g\} = \{f,g\}_{p,q} = \sum_{i=1}^{N} \left[ 
\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} -
\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}
\right].

Lze dokázat, že hodnota Poissonovy závorky \{f,g\} je invariantní vůči kanonickým transformacím, tzn.

\{f,g\}_{p,q} = \{f,g\}_{P,Q}

Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Poissonova závorka vztahuje.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Poissonovy závorky splňují následující vztahy

\{f,g\} = -\{g,f\}

Poissonova závorka je tedy antikomutativní. Speciálním případem tohoto vztahu je

\{f,f\} = 0

Dále platí

\{(f_1+f_2),g\} = \{f_1,g\}+\{f_2,g\}
\{(f_1f_2),g\} = f_1\{f_2,g\} + f_2\{f_1,g\}

Platí také tzv. Jacobiho identita

\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0


Pro časovou derivaci Poissonovy závorky platí

\frac{\part}{\part t}\{f,g\} = \left\{\frac{\part f}{\part t},g\right\} + \left\{f,\frac{\part g}{\part t}\right\}

Fyzikální aplikace[editovat | editovat zdroj]

Rovnice pohybu[editovat | editovat zdroj]

S využitím Hamiltonových kanonických rovnic lze pro totální časovou derivaci funkce f psát

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \frac{\part f}{\part t} + \frac{\part f}{\part q}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{\part f}{\part p}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = \frac{\part f}{\part t} + \frac{\part f}{\part q}\frac{\part H}{\part p} - \frac{\part f}{\part p}\frac{\part H}{\part q} = \frac{\part f}{\part t} + \{f,H\},

Kde H je Hamiltonova funkce. Funkce f je tedy integrálem pohybových rovnic tehdy, pokud platí

\frac{\part f}{\part t} + \{f,H\} = 0

V případě, že f nezávisí explicitně na čase, zjednoduší se předchozí rovnice na tvar

\{f,H\} = 0


Zvolíme-li za funkci f Hamiltonovu funkci H, pak podle bude platit

\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} = \frac{\part H}{\part t}

Podle tohoto vztahu se tedy Hamiltonova funkce zachovává tehdy, když nezávisí explicitně na čase.

Platí, že jsou-li funkce f, g integrály pohybových rovnic, je integrálem pohybových rovnic také Poissonova závorka \{f,g\}.

Fundamentální Poissonova závorka[editovat | editovat zdroj]

Důležitými Poissonovými závorkami jsou takové závorky, v nichž roli f a g hrají souřadnice a hybnosti. Někdy se také hovoří o fundamentální Poissonově závorce.

Takové Poissonovy závorky lze pak vyjádřit vztahy

\{Q_i,P_j\} = \delta_{ij}
\{Q_i,Q_j\} = 0
\{P_i,P_j\} = 0

kde \delta_{ij} je Kroneckerovo delta.

Související články[editovat | editovat zdroj]