Poissonova závorka

Poissonova závorka označuje matematický výraz používaný v matematice a klasické mechanice (konkrétně v Hamiltonovské mechanice), kde se využívá k popisu časového vývoje dynamického systému. V matematice se Poissonova závorka používá k definici Poissonovy algebry (příkladem Poissonovy algebry je Poissonova varieta).

Poissonova závorka je pojmenována po Siméonu-Denisi Poissonovi.

Vyjádření v kanonických souřadnicích

Mějme ve fázovém prostoru s kanonickými souřadnicemi $(q_i,p_j)$ dvě funkce $f(p_i,q_i,t)\,$ a $g(p_i,q_i,t)\,$. Poissonova závorka má pak tvar

$\{f,g\} = \{f,g\}_{p,q} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right].$

Lze dokázat, že hodnota Poissonovy závorky $\{f,g\}$ je invariantní vůči kanonickým transformacím, tzn.

$\{f,g\}_{p,q} = \{f,g\}_{P,Q}$

Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Poissonova závorka vztahuje.

Vlastnosti

Poissonovy závorky splňují následující vztahy

$\{f,g\} = -\{g,f\}$

Poissonova závorka je tedy antikomutativní. Speciálním případem tohoto vztahu je

$\{f,f\} = 0$

Dále platí

$\{(f_1+f_2),g\} = \{f_1,g\}+\{f_2,g\}$

$\{(f_1f_2),g\} = f_1\{f_2,g\} + f_2\{f_1,g\}$

Platí také tzv. Jacobiho identita

$\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0$

Pro časovou derivaci Poissonovy závorky platí

$\frac{\part}{\part t}\{f,g\} = \left\{\frac{\part f}{\part t},g\right\} + \left\{f,\frac{\part g}{\part t}\right\}$

Fyzikální aplikace

Rovnice pohybu

S využitím Hamiltonových kanonických rovnic lze pro totální časovou derivaci funkce f psát

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \frac{\part f}{\part t} + \frac{\part f}{\part q}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{\part f}{\part p}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = \frac{\part f}{\part t} + \frac{\part f}{\part q}\frac{\part H}{\part p} - \frac{\part f}{\part p}\frac{\part H}{\part q} = \frac{\part f}{\part t} + \{f,H\}$,

Kde $H$ je Hamiltonova funkce. Funkce $f$ je tedy integrálem pohybových rovnic tehdy, pokud platí

$\frac{\part f}{\part t} + \{f,H\} = 0$

V případě, že $f$ nezávisí explicitně na čase, zjednoduší se předchozí rovnice na tvar

$\{f,H\} = 0$

Zvolíme-li za funkci $f$ Hamiltonovu funkci $H$, pak podle bude platit

$\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} = \frac{\part H}{\part t}$

Podle tohoto vztahu se tedy Hamiltonova funkce zachovává tehdy, když nezávisí explicitně na čase.

Platí, že jsou-li funkce f, g integrály pohybových rovnic, je integrálem pohybových rovnic také Poissonova závorka $\{f,g\}$.

Fundamentální Poissonova závorka

Důležitými Poissonovými závorkami jsou takové závorky, v nichž roli f a g hrají souřadnice a hybnosti. Někdy se také hovoří o fundamentální Poissonově závorce.

Takové Poissonovy závorky lze pak vyjádřit vztahy

$\{Q_i,P_j\} = \delta_{ij}$

$\{Q_i,Q_j\} = 0$

$\{P_i,P_j\} = 0$

kde $\delta_{ij}$ je Kroneckerovo delta.

Související články

• Lagrangeova závorka
• Diracova notace
• Komutátor