Poissonova závorka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skočit na: Navigace, Hledání

Poissonova závorka označuje matematický výraz používaný v matematice a klasické mechanice (konkrétně v Hamiltonovské mechanice), kde se využívá k popisu časového vývoje dynamického systému. V matematice se Poissonova závorka používá k definici Poissonovy algebry (příkladem Poissonovy algebry je Poissonova varieta).

Poissonova závorka je pojmenována po Siméonu-Denisi Poissonovi.

Obsah

[editovat] Vyjádření v kanonických souřadnicích

Mějme ve fázovém prostoru s kanonickými souřadnicemi (qi,pj) dvě funkce f(p_i,q_i,t)\, a g(p_i,q_i,t)\,. Poissonova závorka má pak tvar

\{f,g\} = \{f,g\}_{p,q} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right].

Lze dokázat, že hodnota Poissonovy závorky {f,g} je invariantní vůči kanonickým transformacím, tzn.

{f,g}p,q = {f,g}P,Q

Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Poissonova závorka vztahuje.

[editovat] Vlastnosti

Poissonovy závorky splňují následující vztahy

{f,g} = − {g,f}

Poissonova závorka je tedy antikomutativní. Speciálním případem tohoto vztahu je

{f,f} = 0

Dále platí

{(f1 + f2),g} = {f1,g} + {f2,g}
{(f1f2),g} = f1{f2,g} + f2{f1,g}

Platí také tzv. Jacobiho identita

{f,{g,h}} + {g,{h,f}} + {h,{f,g}} = 0


Pro časovou derivaci Poissonovy závorky platí

\frac{\part}{\part t}\{f,g\} = \left\{\frac{\part f}{\part t},g\right\} + \left\{f,\frac{\part g}{\part t}\right\}

[editovat] Fyzikální aplikace

[editovat] Rovnice pohybu

S využitím Hamiltonových kanonických rovnic lze pro totální časovou derivaci funkce f psát

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \frac{\part f}{\part t} + \frac{\part f}{\part q}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{\part f}{\part p}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = \frac{\part f}{\part t} + \frac{\part f}{\part q}\frac{\part H}{\part p} - \frac{\part f}{\part p}\frac{\part H}{\part q} = \frac{\part f}{\part t} + \{f,H\},

Kde H je Hamiltonova funkce. Funkce f je tedy integrálem pohybových rovnic tehdy, pokud platí

\frac{\part f}{\part t} + \{f,H\} = 0

V případě, že f nezávisí explicitně na čase, zjednoduší se předchozí rovnice na tvar

{f,H} = 0


Zvolíme-li za funkci f Hamiltonovu funkci H, pak podle bude platit

\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} = \frac{\part H}{\part t}

Podle tohoto vztahu se tedy Hamiltonova funkce zachovává tehdy, když nezávisí explicitně na čase.

Platí, že jsou-li funkce f, g integrály pohybových rovnic, je integrálem pohybových rovnic také Poissonova závorka {f,g}.

[editovat] Fundamentální Poissonova závorka

Důležitými Poissonovými závorkami jsou takové závorky, v nichž roli f a g hrají souřadnice a hybnosti. Někdy se také hovoří o fundamentální Poissonově závorce.

Takové Poissonovy závorky lze pak vyjádřit vztahy

{Qi,Pj} = δij
{Qi,Qj} = 0
{Pi,Pj} = 0

kde δij je Kroneckerův symbol.

[editovat] Související články


Citováno z „http://cs.wikipedia.org/wiki/Poissonova_z%C3%A1vorka“