Lagrangeova závorka

Lagrangeova závorka označuje matematický výraz podobný Poissonově závorce. Lagrangeovy závorky zavedl Joseph Louis Lagrange pro matematickou formulaci klasické mechaniky. Na rozdíl od Poissonových závorek nejsou příliš využívány.

Vyjádření v kanonických souřadnicích

Mějme ve fázovém prostoru s kanonickými souřadnicemi $(q_i,p_j)$. Je-li každá z kanonických souřadnic vyjádřena jako funkce dvou proměnných $u$ a $v$, pak Lagrangeova závorka $u$ a $v$ je určena výrazem

$[u,v] = [u,v]_{p,q} = \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{\part q_i}{\part u} \frac{\part p_i}{\part v} - \frac{\part p_i}{\part u} \frac{\part q_i}{\part v} \right)$

Lze dokázat, že hodnota Lagrangeovy závorky $[u,v]$ je invariantní vůči kanonickým transformacím, tzn.

$[u,v]_{p,q} = [u,v]_{P,Q}$

Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Lagrangeova závorka vztahuje.

Zdroj

• V tomto článku je použit překlad textu z článku Lagrange bracket na anglické Wikipedii.

Související články

• Poissonova závorka