Totální derivace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Totální (úplná) derivace je derivace funkce více proměnných, která na rozdíl od parciální derivace zohledňuje závislosti mezi jednotlivými proměnnými. Totální derivace funkce f(x_1,x_2,...,x_n) podle proměnné x_i se zapisuje stejně jako obyčejná derivace, tzn. \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x_i}. Totální derivaci lze vyjádřit pomocí parciálních derivací.


Při určování parciální derivace funkce f(x_1,x_2,...,x_n) podle x_i považujeme všechny ostatní proměnné za konstanty. Jestliže však existuje nějaká závislost mezi jednotlivými proměnnými, pak ji parciální derivace nezachytí.

Uvažujme např. funkci f(x,y) = xy. Parciální derivace podle x je \frac{\part f}{\part x} = y. Pokud však proměnné x a y nejsou nezávislé, pak získaná parciální derivace nevyjadřuje závislost funkce f na x dostatečně. Předpokládejme, že závislost mezi x a y lze vyjádřit jako y = g(x). V takovém případě je f(x,y) = f(x,g(x)) a jedná se tedy o parciální derivaci složené funkce, tzn.

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \frac{\part f}{\part x} + \frac{\part f}{\part y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

Jsou-li obě proměnné x i y závislé na další proměnné t, tzn. x = x(t), y = y(t), pak totální derivace f podle t je

\frac{{\mathrm{d}f}}{{\mathrm{d}t}}=\frac{\part f}{\part t} + \frac{\part f}{\part x} \frac{{\mathrm{d}x}}{{\mathrm{d}t}} + \frac{\part f}{\part y} \frac{{\mathrm{d}y}}{{\mathrm{d}t}}.

Totální derivace se často používá ve fyzice.

Související články[editovat | editovat zdroj]