Podobnost (geometrie)

Tvary se stejnou barvou si jsou podobné

Dva geometrické útvary v Euklidově prostoru jsou si podobné, pokud oba mají stejný tvar. Přesněji řečeno, jeden je shodný s výsledkem zmenšení či zvětšení druhého a případné rotace, posunutí a zrcadlení. Odpovídající hrany podobných mnohoúhelníků jsou ve vzájemném poměru a odpovídající úhly si jsou rovny. Například všechny kružnice, čtverce a rovnostranné trojúhelníky si jsou podobné. Naopak všechny elipsy si nejsou podobné, stejně tak jako hyperboly. Pokud dva úhly v trojúhelníku jsou shodné se dvěma úhly v jiném trojúhelníku, tyto trojúhelníky jsou podobné.

Tento článek předpokládá, že zvětšení či zmenšení může mít koeficient podobnosti 1, takže všechny shodné tvary jsou podobné. Některé učebnice výslovně oddělují shodné trojúhelníky z definice podobných trojúhelníků tak že jejich velikosti musí být rozdílné aby se daly považovat za podobné.

Podobné trojúhelníky

Podobné trojúhelníky jsou ty, které mají stejný tvar ale jinou velikost. Tvar trojúhelníku je definován jeho úhly, takže dva trojúhelníky se dvěma stejnými úhly jsou podobné.

Formálně řečeno, dva trojúhelníky $\triangle ABC$ a $\triangle DEF$ jsou podobné pokud nějaká z následujících podmínek platí:

1. Odpovídající strany mají délky ve stejném poměru, takže platí ${AB \over DE} = {BC \over EF} = {AC \over DF}$. Toto je to samé jako říci že jeden trojúhelník je zvětšení druhého.

2. $\angle BAC$ je roven $\angle EDF$ , a $\angle ABC$ je roven $\angle DEF$. Toto také znamená že $\angle ACB$ je roven $\angle DFE$.

Když jsou dva trojúhelníky $\triangle ABC$ a $\triangle DEF$ podobné, píšeme $\triangle ABC\sim\triangle DEF \,$

Tuto myšlenku je možné rozšířit na mnohoúhelníky s více stranami. U jakýchkoli dvou podobných mnohoúhelníků si jsou odpovídající strany přímo úměrné. Nicméně pouze úměrnost stran není dostatečná k zajištění podobnosti mnohoúhelníků kromě trojúhelníků, takže odpovídající úhly rovněž musí být shodné.

Věty o podobnosti trojúhelníků

Jsou-li trojúhelníky podobné nám pomohou zjistit následující věty:

Věta SSS - Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících stran, jsou si podobné.

Věta SUS - Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících stran a shodují se v úhlu jím sevřeném, jsou si podobné.

Věta UU - Každé dva trojúhelníky, které mají dva úhly stejné, si jsou podobné.

Věta SsU - Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících stran a shodují se v úhlu naproti větší straně, jsou si podobné.

Související články

• Geometrické zobrazení
• Zobrazení

Reference

V tomto článku je použit překlad textu z článku Similarity (geometry) na anglické Wikipedii.