Obor hodnot

Funkce $\scriptstyle f$ zobrazuje množinu $\scriptstyle X$ do množiny $\scriptstyle Y$ . Žlutý ovál uvnitř $\scriptstyle Y$ je obraz množiny $\scriptstyle X$ při zobrazení $\scriptstyle f$ . V tomto případě není pokryta celá množina $\scriptstyle Y$ a některé body z $\scriptstyle Y$ nelze získat jako obraz bodu z množiny $\scriptstyle X$ při zobrazení $\scriptstyle f$ .

{\displaystyle \scriptstyle f} — Funkce $\scriptstyle f$ zobrazuje množinu $\scriptstyle X$ do množiny $\scriptstyle Y$ . Žlutý ovál uvnitř $\scriptstyle Y$ je obraz množiny $\scriptstyle X$ při zobrazení $\scriptstyle f$ . V tomto případě není pokryta celá množina $\scriptstyle Y$ a některé body z $\scriptstyle Y$ nelze získat jako obraz bodu z množiny $\scriptstyle X$ při zobrazení $\scriptstyle f$ .

Mějme nějakou funkci, nebo obecněji libovolné zobrazení $\scriptstyle T$ z množiny $\scriptstyle X$ do množiny $\scriptstyle Y$ . Pak množina těch prvků $\scriptstyle y$ z $\scriptstyle Y$ , pro něž existuje prvek $\scriptstyle x$ z $\scriptstyle X$ takový, že $\scriptstyle T(x)=y$ , nazýváme oborem hodnot zobrazení $\scriptstyle T$ . Méně formálně je obor hodnot zobrazení $\scriptstyle T$ množina všech hodnot, kterých zobrazení $\scriptstyle T$ nabývá. Obor hodnot zobrazení $\scriptstyle T:X\rightarrow Y$ značíme $\scriptstyle {\mathcal {H}}_{T}$ , $\scriptstyle {\mathcal {H}}(T)$ , $\scriptstyle T({\mathcal {A}})$ , $\scriptstyle {\mathcal {R}}(T)$ , $\scriptstyle {\mathcal {R}}_{T}$ popř. $\scriptstyle {\text{Ran}}(T)$ . Posledně jmenovaný symbol je zkratkou z anglického názvu pro obor hodnot (range^{[pozn. 1]}) a je běžně používán v cizojazyčné literatuře. V matematické notaci pak lze obor hodnot zapsat jako

{\mathcal {H}}_{T}=\{y\in Y|(\exists x\in X)(T(x)=y)\}.

Jinak řečeno, uvažujme definiční obor $\scriptstyle {\mathcal {D}}_{T}$ nějakého zobrazení $\scriptstyle T$ . Pak obraz tohoto definičního oboru při zobrazení $\scriptstyle T$ je obor hodnot zobrazení $\scriptstyle T$ . Neboli

{\mathcal {H}}_{T}=T({\mathcal {D}}_{T}).

Pro obor hodnot zobrazení $\scriptstyle T:X\to Y$ zjevně platí

{\mathcal {H}}_{T}\subseteq Y

.

Příklad

Funkce sinus $\scriptstyle \sin :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ nabývá pouze hodnot mezi -1 a 1, a proto je její obor hodnot $\scriptstyle {\mathcal {H}}(\sin )$ interval $\scriptstyle \left\langle -1,1\right\rangle$ .
Oborem hodnot absolutní hodnoty čísla jsou všechna nezáporná reálná čísla.
Oborem hodnot nemusí být jen čísla, lze sestrojit zobrazení, které vezme číslo a vrátí zobrazení. Uvažme například zobrazení $\scriptstyle T$ , které vezme číslo $\scriptstyle a\in \mathbb {R}$ a vrátí zobrazení $\scriptstyle f(x)=\exp(ax)$ . Neboli

T:\mathbb {R} \to {\mathcal {C}},

kde $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ označuje množinu spojitých funkcí definovaných na $\scriptstyle \mathbb {R}$ . Hodnotou zobrazení $\scriptstyle T$ je tedy opět nějaké zobrazení $\scriptstyle f$ , které zobrazuje reálná čísla na kladná reálná čísla, tj. $\scriptstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ .

Názvosloví

Mějme zobrazení $\scriptstyle T:X\to Y$ . V závislosti na tom, zda zobrazení $\scriptstyle T$ při svém působení na množinu $\scriptstyle X$ vyčerpá všechny prvky množiny $\scriptstyle Y$ , nebo ne, se zavádí následující názvosloví:

Pokud pro každý prvek $\scriptstyle y$ množiny $\scriptstyle Y$ existuje prvek $\scriptstyle x$ z množiny $\scriptstyle X$ takový, že $\scriptstyle T(x)=y$ , tak nazýváme zobrazení $\scriptstyle T$ surjektivní zobrazení, neboli říkáme, že zobrazení $\scriptstyle T$ zobrazuje množinu $\scriptstyle X$ na množinu $\scriptstyle Y$ .
Pokud naopak existuje prvek $\scriptstyle y$ z množiny $\scriptstyle Y$ , pro něž nenajdeme jeho vzor v množině $\scriptstyle X$ , tak říkáme, že zobrazení $\scriptstyle T$ zobrazuje množinu $\scriptstyle X$ do množiny $\scriptstyle Y$ . Tomuto případu odpovídá situace na obrázku. Tam je žlutou barvou vyznačen obor hodnot zobrazení (funkce) $\scriptstyle f$ , zatímco modrou barvou jsou vyznačeny ty prvky množiny $\scriptstyle Y$ , pro něž neexistuje odpovídající $\scriptstyle x\in X$ , pro které by platilo $\scriptstyle T(x)=y$ . Uvedeného pojmu zobrazovat do množiny se užívá i případě, kdy se nestaráme o to, zda $\scriptstyle T$ skutečně nepokryje celou množinu $\scriptstyle Y$ a připouštíme tak obě možnosti, tj. i tu, kdy je zobrazení $\scriptstyle T$ surjektivní.

Speciální druhy oboru hodnot

Ve funkcionální analýze se zavádí pojem esenciálního oboru hodnot. Buď $\scriptstyle M$ množina vybavená mírou $\scriptstyle \mu$ a nechť $\scriptstyle f$ je nějaká komplexní funkce definovaná na $\scriptstyle M$ , tj. $\scriptstyle f:M\to \mathbb {C}$ . Pak pod pojmem esenciální obor hodnot funkce $\scriptstyle f$ rozumíme množinu

R_{\text{ess}}(f)=\{\lambda \in \mathbb {C} |(\forall \epsilon >0)(\mu (M_{\epsilon }(\lambda ))>0)\},\quad {\text{kde}}\quad M_{\epsilon }(\lambda )=\{x\in M|\ |f(x)-\lambda |<\epsilon \}.

Poznámky

↑ V angličtině se pro množinu $\scriptstyle Y$ obvykle užívá pojmu codomain, v češtině tato množina nemá žádný zvláštní název. Obor hodnot zobrazení se pak anglicky nazývá range, ačkoli občas se lze setkat s tím, že za range je považována celá množina $\scriptstyle Y$ a obor hodnot zobrazení se pak označuje jako image. Pojem image je v širším kontextu však obecnější, jeho český ekvivalent je obraz množiny.

Literatura

BLANK, Jiří; EXNER, Pavel; HAVLÍČEK, Miloslav. Lineární operátory v kvantové fyzice. Praha: Karolinum, 1993. ISBN 80-7066-586-6.

Související články

[1] V angličtině se pro množinu $\scriptstyle Y$ obvykle užívá pojmu codomain, v češtině tato množina nemá žádný zvláštní název. Obor hodnot zobrazení se pak anglicky nazývá range, ačkoli občas se lze setkat s tím, že za range je považována celá množina $\scriptstyle Y$ a obor hodnot zobrazení se pak označuje jako image. Pojem image je v širším kontextu však obecnější, jeho český ekvivalent je obraz množiny.

[pozn. 1]