Monoid
| Asociativita | Neutrální prvek | Inverzní prvek | Komutativita | |
|---|---|---|---|---|
| Abelova grupa |  |
|
|
|
| Grupa | |
|
|
|
| Monoid | |
|
|
|
| Pologrupa | |
|
|
|
| Lupa | |
|
|
|
| Kvazigrupa | |
|
|
|
| Grupoid | |
|
|
|
V algebře je monoid algebraická struktura s jednou asociativní binární operací a neutrálním prvkem. Je to tedy grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek.
Definice
Monoid je grupoid (M; ·), tedy množina M s binární operací „·“ : M × M → M, a těmito axiomy:
- Asociativita: ∀ x, y, z ∈ M (x·y)·z = x·(y·z)
- Neutrální prvek: (∃e∈ M) (∀x∈ M) x·e = e·x = x.
Někdy se uvádí i následující axiom plynoucí však z definice binární operace.
- ∀ (x, y ∈ M) x·y ∈ M
Monoid tak je vlastně pologrupa s neutrálním prvkem.
Pokud bychom doplnili tyto axiomy o existenci inverzních prvků, byla by tato struktura grupou.
Monoid, jehož operace je také komutativní se nazývá komutativní monoid, nebo Abelovský monoid.
Příklady
- Přirozená čísla tvoří komutativní monoid k operaci násobení.
- Množina všech matic n×n tvoří monoid vůči sčítání i násobení
Homomorfismus monoidů
O dvou monoidech (M; ·) a (M'; ∗) řekneme, že jsou homomorfní jestliže existuje zobrazení (homomorfismus) f: M → M' takové, že:
- ∀x,y∈M f(x·y)=f(x)∗f(y).
- f(e)=e ', kde e je neutrální prvek grupoidu (M; ·) a e ' neutrální prvek grupoidu (M'; ∗).
Je-li zobrazení mezi dvěma monoidy bijektivní a je to homomorfismus, říkáme, že tyto dva monoidy jsou izomorfní.
Odkazy
Související články
- Grupoid
- Pologrupa
- Grupa - monoid rozšířený o inverzní operaci
- Volný monoid